4) Двойственность в линейном программировании

Многие из полученных результатов легче объяснить, введя понятие двойственности. Мы увидим, что каждой задаче линейного программирования соответствует другая (двойственная) задача. Если понять взаимосвязь между этими задачами, то можно получить решение обеих, когда известно решение любой их них. Введем новые понятия.

Прямая задача:

найти такие , что

и функция имеет максимальное значение.

Ей соответствует двойственная задача: найти такие

и функция имеет минимальное значение.

Исходная задача:

найти такие , , что

и функция имеет минимальное значение.

Соответствующая двойственная задача:

найти такие , , , что

и функция имеет максимальное значение.

Прямая задача имеет ограничения в виде неравенства со знаком ≥ , а двойственная – со знаком ≤ . Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов прямой задачи. Коэффициенты целевой функции двойственной задачи являются значениями правых частей ограничений прямой задачи, и наоборот.

В матричной записи прямая задача имеет следующий вид:

найти такой x ≥ 0 , что

Ax ≥ b

и функция

имеет минимальное значение.

Двойственная задача в матричном виде записывается следующим образом:

найти такой y ≥ 0 , что

и функция имеет максимальное значение.

Хотя прямая задача была поставлена при неотрицательных переменных для минимизации целевой функции, удовлетворяющих ограничениям со знаком ≥ (а не в стандартной форме задач линейного программирования), потери общности при этом не происходит. Любую задачу линейного программирования можно привести к такому виду.

Исходная задача:

найти такие , , что

и функция имеет максимальное значение.

составить двойственную задачу

Геометрическая интерпретация двойственных задач

Если число переменных в прямой и двойственной задачах, образующих данную пару, равно двум, то, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования, можно легко найти решение данной пары задач.

Пример 3. Для задачи, состоящей в определении максимального значения функции при условиях

составить двойственную задачу и найти решение обеих задач.

Решение. Двойственной задачей по отношению к исходной является задача, состоящая в определении минимального значения функции при условиях

Как в исходной, так и в двойственной задаче число неизвестных равно двум. Следовательно, их решение можно найти, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования (рис. 7 и 8).

Как видно из рис. 7, максимальное значение целевая функция исходной задачи принимает в точке В. Следовательно, Х^*=(2, 6) является оптимальным планом, при котором . Минимальное значение целевая функция двойственной задачи принимает в точке Е (рис. 8). Значит, Y^*=(1; 4) является оптимальным планом двойственной задачи. Таким образом, значения целевых функций исходной и двойственной задач при их оптимальных планах равны между собой.

 Двойственный симплекс-метод

Пример 1.5

Вспомним пример 1.1.

Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а для изделия модели В - 4 м². Фирма может получить от своих поставщиков до 1700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин машинного времени, а для изделия модели В - 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие

модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В - 4 дол. прибыли? Чтобы сформулировать эту задачу математически, обозначим через x₁ количество выпущенных за неделю полок модели А, а через x₂ - количество выпущенных полок модели В. Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения x₁ и x₂ . Очевидно, наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют еженедельную прибыль.

Предположим, что недельная продажа ограничена 450 полками. Тогда должно быть включено дополнительное ограничение x1+x2≤450.

В виде уравнения оно записывается как x1+x2+x5=450, где – дополнительная переменная.

Это ограничение нарушается оптимальным решением исходной задачи. Необходимо ли решать эту задачу с самого начала с новым включением? Если так поступить и повторить проведенные вычисления, то дополнительное ограничение выразится через небазисные переменные, которые можно получить из текущей канонической формы

Поэтому уравнение x1+x2+x5=450 после исключения и принимает вид

Последняя таблица будет иметь следующий вид (изменения - только вид дополнительного

ограничения):

Здесь возникают определенные трудности. В этой канонической форме для базиса , , целевая функция имеет такой же вид, как оптимальная, однако базис не допустим, т. к. переменная отрицательна. Существует ли, несмотря на это, способ coxpaнить результаты проделанной к этому моменту полезной работы? Да, и соответствующая процедура носит название двойственного симплекс-метода.

Симплекс-метод можно определить как процедуру, начинающуюся с положительных значений базисных переменных и преобразующую задачу (сохраняя это свойство) к канонической форме (возможно, в несколько стадий), в которой все коэффициенты целевой функции неотрицательны. В двойственном симплекс-методе все наоборот; при его использовании не требуется, чтобы все базисные переменные были положительны с самого начала, но для задачи минимизации необходимо чтобы все коэффициенты целевой функции были неотрицательны. Сохраняя последнее свойство, ограничения с помощью двойственного симплекс-метода преобразуются до тех пор, пока не будет получен положительный базис, и в этот момент достигается минимум (при этом коэффициенты целевой функции сохраняются неотрицательными).

В нашей задаче базисная переменная отрицательна и является кандидатом на удаление из базиса. Какая переменная должна ее заменить? В строке X₅ таблицы ищется отрицательный ведущий элемент, такой, что при последующих преобразованиях коэффициенты целевой функции будут оставаться положительными. Перед формализацией этих правил посмотрим, как они выполняются в нашей задаче. В строке имеется только один отрицательный коэффициент – коэффициент при x₃, равный -3/7. Если мы разделим уравнение на -3/7, чтобы включить в базисные переменные переменную x₃ (с коэффициентом 1), то получим уравнение

т. е. значение станет положительным. Следующим шагом мы должны исключить переменную из остальных ограничений и из целевой функции. Это достигается простыми симплексными вычислениями результаты, как показано ниже, могут быть сведены в таблицу. Ведущий элемент (отрицательное значение -3/7) отмечен звездочкой.

В конечной таблице приведено оптимальное решение новой задачи:

причем

Поскольку в этом решении - базисная переменная, имеется избыток сырья, и в результате количество заказанных досок может быть сокращено.

Литература.

1. Банди Б Основы линейного программирования, 1989г.

2. Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Математические методы исследования операций в экономике: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. – 204 c.