Закон распределения вероятностей системы случайных величин
Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.[/b]
Так
же, как и для одной случайной величины,
закон распределения системы случайных
величин может быть задан в различных
формах. Рассмотрим таблицу распределения
вероятностей системы дискретных
случайных величин. Пусть 
и
—
дискретные случайные величины, возможные
значения которых 
,
где 
Тогда
распределение системы таких случайных
величин может быть охарактеризовано
указанием вероятностей 
того,
что случайная величина
примет
значение 
и
одновременно с этим случайная
величина
примет
значение 
.
Вероятности 
фиксируют
в таблице.
Такая
таблица называется таблицей распределения
системы двух дискретных случайных
величин с конечным числом возможных
значений. Все возможные
события 
при 
составляют
полную группу несовместных событий,
поэтому
Двумерная случайная величина.
Функция распределения одной случайной величины не может описать все многообразие природных и, в том числе, экономических процессов и явлений. Для описания этих процессов используются двумерные и многомерные случайные величины. В данной главе остановимся на двумерных случайных величинах.
Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений.
где X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.
Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений.
где
X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.
Двумерную случайную величину можно интерпретировать как случайно взятую точку на плоскости Оxy, где x и y координаты этой точки.(Рис.1) Т.е. функция распределения F (x,y) есть вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке А(x,y), лежащей левее и ниже этой точки.
Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид:
где вероятность суммируется для всех xi < x и yi < y.
Двумерную случайную величину можно интерпретировать как случайно взятую точку на плоскости Оxy, где x и y координаты этой точки.(Рис.1) Т.е. функция распределения F (x,y) есть вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке А(x,y), лежащей левее и ниже этой точки.
Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид:
где
вероятность суммируется для всех xi <
x и yi <
y.
Рис.1
Свойства функции распределения двумерной случайной величины.
1.Функция 0 ≤ F(x,y) ≤ 1, т.е. величина неотрицательная меньше 1.
2.Функция F(x,y) есть возрастающая функция по каждому из аргументов.
3.Функция распределения F(x,y) = 0, если хотя бы один из аргументов x или y стремится к минус бесконечности.
4.Функция F(x,y) равна функции от одного аргумента F(x) (F(y)), если y (x) стремится к бесконечности.
5. Функция F(x,y) равна 1, если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности.
Геометрический
смысл функции распределения есть
поверхность на координатной плоскости
Оxy.(Рис.2) Значение функции равно
вероятности попадания случайной величины
в область, рассчитанную по
формуле:
Формула
рассчета вероятности, состоящая из 4-х
слагаемых, объясняется тем, что вероятность
равна вероятности попадания случайной
величины в бесконечный квадрант,
исходящий из точки В, минус квадрант в
точках А и С и плюс бесконечный квадрант
в точке D, т.к. квадрант в точке D был
вычтен дважды.
Рис.2
.Плотность вероятности двумерной случайной величины.
Как известно, случайная величина имеет плотность вероятности, если она непрерывна. Говоря о случайных величинах, двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной функцией. И существует вторая смешанная производная F ''xy (x,y), которая и является плотностью вероятности двумерной случайной величины.
Т.е. плотность вероятности это вторая смешанная производная от функции распределения двумерной случайной величины:
В общем виде плотность вероятности двумерной случайной величины выражается следующей формулой:
где
r - коэффициент корреляции случайных величин X и Y σx - среднее квадратическое отклонение случайной величины X σy - среднее квадратическое отклонение случайной величины Y mx- математическое ожидание случайной величины X my - математическое ожидание случайной величины Y
Если случайные величины подчинены нормальному закону распределения и не коррелированы (r = 0 ), то формула плотности вероятности примет вид:
Геометрический смысл вероятности двумерной случайной величины - это поверхность похожая на купол. На рис.3 изображен график плотности вероятности с параметрами r, σx, σy, mx, my, которые имеют следующие значения:
r = 0 σx = 2 σy = 2 mx = -1 my = 1
Рис.3
Рассматривая выражения для плотности вероятности двумерной случайной величины, можно заметить, что данный закон распределения задается пятью параметрами: двух координат центра распределения случайных величин x и y по осям X и Y, средних квадратических отклонений σx и σy, и коэффициентом корреляции случайных величин x и y.
Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область D равна:
Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины имеет вид:
