Свойства функции распределения вероятностей случайной величины

1. Значения функции распределения вероятностей принадлежат отрезку  : . 2. Функция распределения вероятностей – неубывающая функция, то есть: , если  . Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале  , равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале: . Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю. Используя последнее следствие, легко убедиться в справедливости следующих равенств: . 3. Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат интервалу  , то: , если  ; , если  . Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения: ; . Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины   называют функцию   – первую производную от функции распределения вероятностей  : . Таким образом, функция распределения вероятностей является первообразной для плотности распределения вероятностей. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина   примет значение, принадлежащее интервалу  , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах: . Следовательно, зная плотность распределения вероятности  , можно найти функцию распределения   по формуле .

 

Свойства плотности распределения вероятностей

1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция: . 2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от   до   равен единице: .

Вероятностный смысл плотности распределения вероятности. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу  , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно  ) произведению плотности распределения вероятности в точке на длину интервала  : .

 

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины  , возможные значения которой принадлежат отрезку  , называют определенный интеграл . Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует). Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные непрерывной случайной величины   принадлежат отрезку  , то . Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует). Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии: .

2. Среднее квадратическое отклонение. Мода, медиана, моменты, асимметрия и эксцесс, квантили. Производящие функции.

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Коэффициент вариации случайной величины - это относительная мера вариации. V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле: As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ + ... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³ Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле: Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ + ... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

Моментом  порядка   (иногда применяют термин «начальный момент  порядка  ») случайной величины называется число  , равное 

2.       Центральным моментом порядка   случайной величины   называется число  , равное 

Таким образом, математическое ожидание случайной величины есть момент первого порядка, а дисперсия - центральный момент второго порядка. Термин "момент" заимствован из теоретической механики. Известно, что первый момент  , т.е.  , - это абсцисса центра тяжести массы распределения, а второй центральный момент  , т.е.  , - момент инерции массы относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр тяжести  .

Кроме этих моментов наиболее часто используется третий и четвертый центральные моменты.

Определение. Коэффициентом асимметрии случайной величины   называется величина

а коэффициентом эксцесса случайной величины   - величина

Рис. 3.1. Пример распределений с положительной ( ) и отрицательной ( ) асимметрией.

 

Если плотность распределения случайной величины симметрична, то коэффициент асимметрии  . На рис. 3.1 приведены графики функций плотности в двух случаях:  . Для нормального распределения коэффициент эксцесса   равен 3. Если же распределение сосредоточено вокруг среднего теснее, чем нормальное, то  , в противном случае  .