Вопрос28. Предел и непрерыность функции многих переменных

Пусть на множестве D задано функцию и=f(М). Число А называется пределом функции и=f(М) в точке М , если для произвольного числа  >0 найдётся такое число  >0, что для всех точек М  D, которые удовлетворяют условию 0< (М;М )< , выполняется неравенство

.

Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке М  конечные пределы, то

1.  = с ,

2.  = ,

3.  = .

4.   если  .

Заметим, что если предел   существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М .

Функция и=f(М) называется непрерывной в точке М , если

= f(М ).

Функция и=f(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке М D.

Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Например, функция z=  имеет разрыв в точке (0;0), а функция z=  имеет разрыв на параболе 

Вопрос29. Градиент. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Коэффициенты эластичности.

Градиентом ф-ии z=f(x₁,x₂,…x_n) наз-ся вектор составленный из её частных производных 1-ого порядка.Обозначаеться: gradzилиz(набла) . Только для функции двух переменных x z(x,y)

Gradz(M)=(f′x(M),fy′(M)). Для функций n переменных z(x1,x2…xn) gradz(M)=(qz(M)/qx1,qz(m)/qx2,…,qx(M)/qxn).

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Нам дана функция Z=f(x,y), определенная в окрестности точки (Хо,Yo)€X. Придадим значению Хо приращенные ∆x.

Разность ∆x Z= F(Xo+∆X1 yo)–f(Xo,yo)называется частным приращением функции по переменной Х, тогда в случае существования предела.

Lim(∆x→0) ∆xZ//∆x= Lim(∆x→0)f(Xo+∆x,yo)-f(Xo,yo)//∆x

Его называют частной производной функции по переменной х и обозначают одним из символов:

Zx, Zx’,δz/δx, f’x(Xo,yo), δf/δx

Заметим, что символ для обозначения частной производной δf/δx в отличие от обычной производной не может рассматриваться как дробь итак,

δf/δx= Lim(∆x→0) f(Xo+∆x,yo)-f(Xo,yo)// ∆x

Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по переменной y. По аналогии с функциями одной переменной для функций многих переменных вводится понятие односторонней частной производной правой(левой) частной производной функции называется предел отношения или частного приращения функции и приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю справа(слева). Обозначение для функции z=f(x,y):

Z’xt=f’x+(Xo,yo)=lim(∆x→0+0) ∆z/∆x

Z’x-=f’x-(Xo,yo)=lim(∆x→0-0) ∆z/∆x

(односторонние частные производные по переменой Х)

Односторонние частные производные по переменной y обозначаются: Z’y+,Z’y-

По аналогии с функциями одной переменной для функций многих переменных вводится понятие частной, или частичной эластичности. Важной характеристикой производственной функции являются коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов.

Ei=δp/ δX2 Xi/p, где p – показатель результата, Хi – размер затрат i-го ресурса

Коэффициент эластичности – это числовой показатель, показывающий процентное изменение одной переменной в результате однопроцентного изменения другой переменной. Эластичность может изменяться от нуля до бесконечности. (Точечной) эластичностью (коэффициентом эластичности) переменной y к x называется величина: .Данное значение определяет эластичность в конкретной точке. Эластичность постоянна только в рамках логарифмической (или степенной) модели зависимости. Во многих случаях (в том числе и для линейной модели зависимости) эластичность в разных точках отличается. Поэтому рассчитывают также среднюю (дуговую) эластичность как отношение процентных изменений y и x. Иногда вместо и используют среднюю точку в интервале изменения их значений. где Преимуществом последнего способа является симметричность относительно знака изменения фактора.