Вопрос25.Направление вогнутости. Точки перегиба.

функция   называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале  , если график функции   идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика   и   при  . Это означает, что

при всех  .

Точка   называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки  , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной. На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.  Вопрос26. Правило Лопиталя

Неопределённость 0/0: 1-ое правило Лопиталя. Если lim(xa)f(x)=lim(xa)(x)=o, то

lim(xa)(f(x)/(x))= lim(xa)(f (x)/ (x)),когда последний существует. Неопределённость /. Второе правило Лопиталя: Если lim(xa)f(x)= lim(xa)(x)=, то lim(xa)(f(x)/(x))= lim(xa) (f (x)/ (x)), когда последний существует. Неопределённость 0umn - 1* 0*0 cводятся к неопределённостям 0/0 и/ путём алгебраических преобразований.

Вопрос27. Функции многих переменных в экономике

Раннее мы рассматривали функции y=f(x) одной переменной. Областью определения такой функции является множество Х € R в экономике часто рассматриваются и используются многофакторные функции, или функции нескольких переменных. Например, производственные функции, в которых независимых переменных бывает несколько производственные функции описывают взаимосвязь между объектами вовлечения и получения благ в ходе деятельности предприятия. Часто вовлекаемые блага называют факторами производства, “Input”(“вход”), или исходными продуктами. К выпускаемым благам относятся полуфабрикаты и готовые изделия, промежуточная и готовая продукция; они называются выпуском продукции, или “output”(“выход”)

Например, производственная функция Кобба-Дугласа имеет виж Y=Yok^ £ * L^1-£, где Y-велечина общественного продукта, L- затраты труда, К- объем производственных фондов(обычно Y и K измеряются в стоимостных единицах,L – в человеко-часах);Yo и £ - постоянные, 0<a<1, переменные K и L меняются независимо друг от друга и каждой упорядоченной паре чисел (K,L)соответствует число Y по закону Y=YoK^£ * L^1-£. Переменные K и L называются независимыми переменными. Или аргументами, y – функцией двух переменных.

Уровень рентабильности R зависит от прибыли P на реализованную продукцию, величин основанных (a) и оборотных (b) фондов R=P//a+b , т.е R является функцией трех независимых переменных P,a,b

Пусть Х1,X2,….,Xn- затраты производстенных ресурсов R1,R2,….,Rn соответственно, а y – соответствубший им объём выпускаемой продукции. Каждому набору чисел (х1,x2,…..,Xn)сопоставлено вполне определенное число y, и поэтому мы говорим о многофакторных производственных функциях.

Числовая функция n переменных характеризуется тем, что областью её определения является подмножество Х пространства R^n, n>1. В этом случае значение аргумента представляет собой точку M(X1,X2,…..,Xn)из R^n, тогда каждый точке ставится в соответствие значение функции g и говорят, что переменная y является функцией от n переменных Х1,Х2,….,Xn или функцией точки M, где (Х1,Х2,….,Хn)€X и обозначают:

Y=F(X1,X2,….,Xn) или y =f(M)

Для функции двух переменных (n=2) вместо Х1,Х2, y чаще всего пишут x,y,z, тогда y=f(X1,X2,…Xn) принимает вид z=f(x,y), точка (X,Y) пробегает область определения Х С R^2 функции Z

Z=F(X,Y)-уравнение поверхности.