Вопрос17. Формула для приращения функции. Дифференциал функции.

Теорема о приращении функции.

Если функция y=F(x)имеет в точке Xo конечную производную f’(Xo), то ∆y=f’(Xo)* ∆X+£*∆X, где £=£(∆X), £→0 при ∆X→0

Док-во Так как по условию lim(∆X →0) ∆y//∆X=f’(Xo), существует и конечен, то разность между переменной и её пределом есть бесконечно малая велечина:

£= //∆x –f’(Xo); где £→0 при ∆X →0

отсюда получаем

∆y=f’(Xo)* ∆x+£*∆x

Теорема доказана. Полученная формула носит название формулы для приращения функции и часто используется в приложениях.

Линейная часть приращения функции, т.е слагаемые f”(xo) ∆x, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy. Выясним, что представляет собой дифференциал dy=f’(Xo)∆x с геометрической точки зрения. Рассмотрим график функции f(x) и касательную MoT в точке Мо правой,M-призвольная точка.Проведём через точки Mo и M прямые, параллельные координатным осям Ох и Оу соответственно, обозначим через А точку пересечения касательной MoT с положительным направлением оси Ох. Рассматривая прямоугольный треугольник MoAB(ри 11), имеем BA//MoA=tg£, откуда BA=f’(Xo)*∆X, тогда dy=BA, а это означает, что дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к кривой при перемещении точки Мо в точку М. Ещё раз подчеркнём, что символ ∆у обозначают приращение ординаты кривой, а символ dy обозначает приращение ординаты касательной

В частности, если у=х, то dy=x’ ∆y=F*∆y=∆y, ∆y=dy, а поскольку y=x, то ∆x=dx

Дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, dy=y’*dx, y’=dy//dx, т.е символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Вопрос18. Инвариантность формы и геометрический смысл первого дифференциала.

Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной): . (24.5)

В этой формуле является дифференциалом функции, а dx – дифференциалом независимой переменной.Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» – независимо от того, является эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой переменной.Докажем это. По теореме 1 , отсюда, применив формулу (24.1) для производной сложной функции, получим , но , поэтому . Вычисление производных сложных функций. Геометр.смысл: Проведем к гр ф-ии y=f(x) в т M(x,y) касательную МТ, рассмотрим ординату этой касат для т x+x. /AM/=x, /AM/1=y, из MAD: tg альфа=(AB)/ x, (AB)=tg

альфа x. Но tg альфа=f ‘ (x), то AB=f ‘ (x) x . Сравнивая р-т с dy= f ‘ (x) x следует, что

dy=AB – дифферинциал ф-ии в т х = приращению ординаты касательной к графику

ф-ии в этой т, когда х получит приращение x.

Вопрос19. Производные основных элементарных функций.

Теорема 6. (производная логарифмической функции)

Доказательство

Вначале докажем теорему для функции y = ln x. Если аргумент x получит приращение Δx, то функция y = ln x получит приращение

Воспользовавшись вторым замечательным пределом, свойствами предела функции и свойствами логарифмической функции, получаем .Теперь, так как то, вынося постоянную за знак производной, получаем