Вопрос9. Первый замечательный предел.

Lim(xo)(sinx/x)=1 .Доказ-во: для док-ва этой формулы круг радиуса R с центром в точке0. Пусть 0lподвижный радиус, образующий уголx с осьюOx(0<x<P/2).Обозначим А точку с координатами(R,0)- из точки А проведем касательную к окружности и точку пересечения касательной с прямой ОВ обозначим через С. Имеем: <S сект OAB<SOAC, т. к. SOAB=1/2R*R*sinx=1/2R^2sinx,Sсек,AOB=1/2R^2x,SAOC=1/2AO*OC=1/2R^2tgx , то имеем двойное неравенство1/2R*2sinx<1/2R*2x<1/2R*2tgx. Разделив части двойного неравенства на 1/2R^2>0, получимsinx<x<tgx=>1<x/sinx<1/cosx=> cosx<sinx/x<1,т.к функции cosx,sinx/x-частные, то получ. Неравенства справедливые(0<x<P/2). Переходя к пределу прих=>0, имеем lim(n=>0)cosx=1, в силу непрерывности функцииcosxна всей числовой оси.Используя предельный переход в неравенстве мы и получим формулу:..

Вопрос10. Число e. 1)Числом е назыв-ся предел : lim(n) (1+1/n)*n=lim(n-)(1+1/n)*n=lim(0)(1+)*1/=e.Это число иррац-но и приблизительно равно =2,71828. Логарифмы с основанием е наз-ся натуральными и обознач logex=ln x. Десятичный lgx=Mlnx. Где M=0,43429.

Вопрос11. Следствия из числа e. 1) lim((1+)*1/=e – пролагорифмируем

данное ур-ие по основанию а: log_a lim(1+*1/=log_ae Логарифмическая функция непрерывна в своей области определения , поэтому : limlog_a(1+)*1/=log_ae

2) lim ( log_a(1+)/=log_ae частный случай a=e. (3) lim((ln(1+)/=1 4) lim (a*-1)/=lna – 2-ое следствие. 5) lim(e*-1)/=1, a=e. 6) lim((1+)*-1)/= (-const) ,ln(1+)=ln(1+).Для док-ва равенства(6) обозначим β=(1+a)^μ-1=>(1+a)^μ=1+β,ln(1+a)^μ= ln(1+β)=>μln(1+a)=ln(1+β).Тогда имеем: ) lim((1+)*-1)/a=lim(a->0)β/a=limβ/ln(1+β)*μ*ln(1+a)/a=μ.

Вопрос12. Второй замечательный предел в задаче о начислении процентов.

Рассмотрим пример Я.И.Перельмана, дающий интерпретацию числа е в задаче о сложный процентах.В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.Пусть в банк положено 100 ден. Ед. из расчета 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. Ед. превратятся в 200 ден. Ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. Ед. , если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия мы получим 150 ден. Ед. , а еще через полгода—150*1,5=225(ден. Ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года мы получим 100*(1+1/3)^3=237(ден. Ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д.Тогда из 100ден. Ед. спустя год получится:

100*(1+1/10)^13=259(ден.ед.)

100*(1+1/100)^100=270(ден.ед.)

100*(1+1/1000)^1000=271(ден.ед.)

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому числу, равному приблизительно 272.Более чем в 2,72 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу ежесекундно, потому что число е=2,71828 и

Lim(1+1/n)^n

В практическах расчетах в основном применяют дискретные проценты т.е проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени(год,полугодие и т.д.).Время – дискретная переменная. В некоторых случая – в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, – возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

S=P*(1+i)^n

Здесь P – первоначальная сумма, i – ставка процентов (в виде десятичной дроби), S – сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S – P называют дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной величиной S. Имеем:

P=S//(1+i)^n => lim(n→∞)P= lim(n→∞)S//(1+i)^n=0.

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная велечина последнего будет крайне незначительна. В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т.е наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений(или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процентов более адекватно, чем на основе дискретных, Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

Sm=P*(1+i/m)^mn

Наращенная сумма при дискретных процессах находятся по этой формуле, здес m – число периодов начисления в году; i – годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при

m →∞ имеем:

S= limSm(m→∞)= limP(m→∞)*(1+i/m)^mn=P* lim(m→∞)(1+i/m)^mn=P*e^m

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того чтобы отличить ставку непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, ее обозначают через δ. Тогда S=P*e^ δm. Сила роста δ представляет собой номинальную ставку процентов при m→∞. Множитель наращения рассчитывается с помощью компьютера или по таблицам функции.

45 Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [a,f], т.е функция Ф(t)= f(x)dx определена для произвольного t≥a

Определение. Несобственным интегралом f(x)dx от функции f(x) на полуинтервале [a,+ ∞] называется предел функции Ф(t) при t, стремящийся к +∞, т.е

F(x)dx=lim(t→∞) f(x)dx

Если предел, стоящий в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся( к данному пределу), в противном случае расходящийся.

Несобственный интеграл на полуинтервале(-∞;в]:

F(x)dx= lim(t→-∞) F(x)dx.

Введём понятие несобственного интеграла на интервале (-∞,+∞). Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы

F(x)dx и f(x)dx сходятся. Тогда положим, что

F(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx, при этом интеграл f(x)dx называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть, расходится, то несобственный интеграл

F(x)dx называется расходящимся.

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Начнём Рассматривать частный случай: пусть функция y>f(x) непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [a,b)

Определение Несобственным интегралом f(x)dx

Вопрос13.Асимптоты. Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например: . Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела . Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов. Пример наклонной асимптоты

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!

Вопрос14. Глобальные свойства непрерывных функций. Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Вопрос15.Производная. Геометрический, механический и экономический смысл производной. . Производной ф-ии y=f(x) в точке х наз-ся предел lim(xo)(f(x+x)-f(x))/x=lim(xo)(y/x). Если этот предел конечный, то ф-ия наз-ся дефферинцируемой в точке х, при этом она оказ-ся обязательно и непрерывной в этой точке.Если пределравен + или -, то ф-ия f(x) имеет в точке х бесконечную производную. Нахождение

производной – дифференцирование ф-ии. Геометрический смысл: это угловой коэффициент касательной к данной точке. Механический смысл: производная от пути по времени личная скорость. Эк смысл: производная, вычисленная от кол-ва произведённой прод-ииln в данный момент времени есть производительность трудаu′=lim∆u/∆t.