Вопрос5. Предел функции в точке и на бесконечности.

На бесконечности напоминает определение предела последоват-ти только для ф-ии аргумент, возрастая, принимает любые значения, а не только натуральные, как в случае последовательности. Говорят, что ф-ия y=f(x) имеет своим пределом А, при x, если для любого >0 найдётся такое число >0, зависящее от выбранного числа  ( что нер-во f(x)-A< выполн-ся лишь только х> A-<f(x)<A+

Предел ф-ии в точке. Y=f(x) задана на некотором мн-ве х, а-предельная точка мн-ва х. точка а наз-ся предельной точкой х, если любая её окрестность содержит точки мн-ва отличные от а. Пред точка может и не принадлежать самому мн-ву. 1) Ф-ия f(x) имеет своим пределом А при ха, если для любой последова-ти значений аргумента сходящийся к а соответствующая послед-ть значений ф-ии имеет один и тот же предел А. Это определение предела ф-ий носит название язык последовательности. 2) Ф-ия f(x) имеет своим пределом А при ха, если для любого >0 найдётся >0 (дельта), что нер-во f(x)-A< выполн-ся как только выполн-ся нер-во 0<x-a< . Это определение на языке эпсилон-дельта. Если последоват-ть имеет предел, то записыв-ся след образом: lim(xa)f(x)=A

Вопрос 6. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

1)Ф-ия f(x) наз-ся непрерывной в точке хо ,если 1) она определена в точке хо и некоторой

её окрестности.2) имеет конечный lim 3)lim(xxo)=f(x0) 1)x₀ – точка разрыва, если в некоторой проколотой окрестности точки х₀ ф-ия определена, но не явл непрерывн в этой

точке. Окрестность точки икс нулевое проколотая,если она не содержит эту точку.1)точка хо наз-ся точкой разрыва 1-ого рода ф-ии f(x) если односторонние пределы ф-ии в этой точке существ и конечны. Разность м-у ними наз-ся скачком ф-ии. Точка хо точка разрыва 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. Точка x0-точка устраненного разрыва, если пределы левост и правостор не только конечны но равны, функ непрер в точке если определена и в этой бесконечно малому приращ арг соотв-ет беск малое приращ функ1т Вейерштрассе: если функ опред и непрерывна на [a,b] то она и ограничена на нем 2т Вейер-е если фуну опр и непрер на отр то она достигает на этом отр своей точной нижней и верхней границы Т Бальцано-Коши Если функ непрер на [a,b] ти ее знач на концах имеют противоп знакито внутри отр найдется такая точка Bчто f(B).

Вопрос7. Лемма о вложенных отрезках.

Формулировка:

Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю: , то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

Док-во:

Из определения о вложенных отрезках.

, что для любого , следовательно существует

, что для любого , и существует

Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке и равны. Из этого следует,

Как нам известно , а , то Вопрос8. Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Критерий сходимости последовательности. Из определения сходимости последовательности к точке a вытекает, что для любого интервалом длиной 2 можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке . Справедливо и обратное : если последовательность такова, что для любого можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно.

Подпоследовательность называется последовательностью Коши или фундаментальной, если Теорема ( Критерий Коши ). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство :Необходимость. Пусть сходится.

Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и .

Так как последовательность фундаментальна, то , в -окресности которой существуют все элементы .Предположим, .В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. - ограниченна.В следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса ( ) < ( ). в силу произвольности

Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Док-во. Пусть ограниченная последовательность. Тогда : , .Рассмотрим множество таких вещественных чисел , что правее каждого из этих лежит не более,чем конечное число элементов последовательности . Множество таких x не пусто, т.к. x . Кроме того, множество таких элементов ограничено снизу любым числом, меньшим m, , .Докажем, что является частичным пределом последовательности . Зададим произвольное ; => правее числа лежит бесконечно много элементов последовательности .По определению множества элементов правее элемента x лежит не более, чем конечное число элементов последовательности, а значит, на полуинтервале ( ] бесконечно много элементов последовательности. Тем более в окрестности ( ) содержится бесконечно много элементов последовательности. Это означает, что - частичный предел последовательности, т.е. есть подпоследовательность, которая сходится.