Вопрос50. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.
Если
функция y = f(x) имеет производные
в окрестности точки x = x0
до (n+1) - го порядка включительно, то
существует точка
,
такая, что
|
(1) |
где
Формула (1) называется формулой Тейлора функции y = f(x) для точки x0,
Rn
(x) - остаточным членом
формулы Тейлора в форме Лагранжа. Многочлен
называется
многочленом Тейлора функции y
= f(x).
При x0
= 0 приходим к частному случаю
формулы (1): 
|
(2) |
где
Формула
(2) называется формулой Маклорена
функции y
= f(x). Сформулируем условие разложимости
функции в ряд Тейлора.Если функция
f(x) дифференцируема в окрестности
точки x0
любое число раз и в некоторой окрестности
этой точки
,
то
|
(3) |
При x0 = 0
|
(4) |
Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (4) – рядом Маклорена.
Разложение функций в степенные ряды:
Пусть дана
функция f(x),
которую требуется разложить в степенной
ряд, т.е. представить в виде (30):
Задача
состоит в определении коэффициентов
ряда
(30). Для этого, дифференцируя равенство
(30) почленно, последовательно найдём:
……………………………………………….. (31)
Полагая
в равенствах (30) и (31) х
= 0, находим
Тогда
Подставляя
найденные выражения в равенство (30),
получим
(32)
Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена.