Вопрос48. Знакочередующиеся ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что
1. an+1
< an для всех n; 2.
.
Тогда знакочередующиеся ряды
и
сходятся.
Абсолютная
и условная сходимость
:Ряд
называется
абсолютно сходящимся, если ряд
также
сходится. Если ряд
сходится
абсолютно, то он является сходящимся
(в обычном смысле). Обратное утверждение
неверно. Ряд
называется
условно сходящимся, если сам он
сходится, а ряд, составленный из модулей
его членов, расходится.
Вопрос49. Область сходимости степенного ряда.
Со+С1Х+С2Х^2+……+CnX^n+….(14.1)
Такие ряды называются степенными, а числа Со,С1,Сn – коэффициентами степенного ряда.
Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.
Теорема Абеля.
1)Если степенной ряд сходится при значении Х=Хо≠(отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких, что |X|<|Xo|
2)Если степенной ряд расходится при х=х, то он расходится при всех значениях Х так, что |X|>|X1|
1) По условию ряд сходится при Х=Хо≠0 => выполняется необходимый признак сходимости lim(n→∞)Un= lim(n→∞)CnXo^n=0. Отсюда следует, что последовательность|CnXo^n| ограничена, т.е существует такое число M>0, что для всех N выполняется неравенство
|CnXo^n|<M (14.2)
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных велечин членов ряда |CnXo^n|,который представлен в виде
|Co|+|C1Xo| |X/Xo|+…+|CnXo^n| |X/Xo|^n+…, (14.3)
Члены ряда (14.3) согласно неравенству (14.2) меньше соответствующих членов ряда
M+M|X/Xo|+…+M|X/Xo|^n+…,
Представлено геометрический ряд, который сходится, когда его знаменатель q=|X/Xo|<1, т.е |X|<|Xo| => на основании признака сравнения ряд (14.1) сходится
2)По условию ряд (14.1) расходится при Х=Х1. Покажем, что он расходится для всех Х, удовлетворяющих условию |X|>|X1|.Предположим противное, т.е при |X|>|X1| ряд(14.1)сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке Х1(ибо |X1|<|X|), что противоречит условия. Т.о для всех Х таких, что |Х|>|X1|, ряд (14.1) расходится
Свойства степенных рядов.
Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда, т.е f(x)= СnX^n
На любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R,R), функция f(x) является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке: f(x)dx= Codx+ C1xdx+….+ CnX^ndx+…
Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать
F’(x)=C1+2C2X+3C3X^2+….+nCnX^n-1+….