Вопрос45. Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [a,f], т.е функция Ф(t)= определена для произвольного t≥a Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале [a,+ ∞] называется предел функции Ф(t) при t, стремящийся к +∞, т.е =lim(t→∞) .Если предел, стоящий в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся( к данному пределу), в противном случае расходящийся.Несобственный интеграл на полуинтервале(-∞;в]:

= lim(t→-∞) . Введём понятие несобственного интеграла на интервале (-∞,+∞). Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что = + , при этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть, расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Начнём Рассматривать частный случай: пусть функция y>f(x) непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [a,b). Определение Несобственным интегралом от функции y=f(x) на полуинтервале [a,b) называется предел lim(δ→0+) f(x)dx, где f(x)dx=lim(δ→0+) f(x)dx

Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y=f(x) непрерывной, но неограниченной на (а,b]:

=lim((δ→0+)

Вопрос46. Двойные интегралы.

Пусть Д –замкнутая и ограниченная область на кордплоскости ОХУ, в ней определена

ограниченная ф-ия z=f(x,y). Разобъём об-ть Д сетью кривых на н производных частей Дi не

имеющих общих внутренних точек, площади которых Si . В каждой частичной об-ти Дi

возьмём точку (xi,yi) –внутренние точки. 1)=(l=1 n)f(xi,yi)Si – интегральная сумма 2)для f(x,y) в области Д. Диаметр d(Д) области Д – это наибольшее расстояние м/у граничными точками этой обл-ти. Пусть -наибольший из всех диаметров частичных областей. =maxd(Дi) 1<=i<=n если интегральная сумма имеет предел при  то этот предел наз-ся двойным интегралом от ф-ии f(x,y) по области Д. Обозначение: lim(xfxi,yiSi=_Д f(x,y)ds=_Д f(x,y)dx dy

Вопрос47. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов   Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой. Сходимость числового ряда. Ряд    называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности     частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают  , . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Разность называется остатком ряда. Очевидно, что для сходящегося ряда   . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то  (необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться.