Вопрос37. Интегрирование методом замены переменной (подстановкой) и по частям.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где  — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл где  — многочлен -ой степени.

Вопрос38. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей: где  — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Вопрос39. Интегрирование тригонометрических функций.

Выбирается такая подстановка, в результате применения которой неопределенные интегралы от тригонометрических функций преоразющим в неопределённые интегралы от дробно рациональных функций вычисление интеграла вида SR(sinx,cosx)dx(1)

Теорема.

Неопределенный(1)подстановкой t=tgx/2(2)

Преобразует в неопределённость интеграл

Док-во:sinx=sinα x/2 cosx/2=

-числитель и знаменатель разделим на

Sinx=

Аналогично cosx=

X=2arctgt

dx=

Интеграл(1) примет вид:SR(sinx,cosx)dx=SR( , )

-интеграл от рациональной дроби

Интегрируем и делаем обратную замену переменной

Замечание:В некоторых случаях применение универсальной подстановки(2)приводит к громоздким выкладкам.Если m и n – целые числа, то рассматривают следующие случаи при вычеслении интегралов вида.S xdx=S xdcosx

S

2=ns+1 Вторая подстановка- аналогично первой подстановке t=sinx

3) mtn=2s.Третья подстановка t=tgx.

S : -интеграл от рациональной функции

При вычеслении интегралов вида(1) при наличии равенства типа R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)целесообразна подстановка t=cos,если же подынтегральная функция нечетна относительна cosx, т.е

R(sinx,-cos)=-R’(sinx,cosx),то вычесление интеграла(1)значительно упрощается при использвании подстановки t=sin.В случае четности подынтегральной функции относительно sinx и cosx, т.е

R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)

Подстановка t tgx приводит к интегралу от рациональной функции

Для интегрирования функций sinx cosmx,cosnx cosmx,sinx sinmx могут быть использованы след. формулы:

Sina cosb=0,5/sin(a-b)+sin(a+b));

Cosa cob=0,5/cos(a-b)+cos(a+b));

Sina sinb=0,5/cos(a-b)-cos(a+b)