Вопрос35. Метод наименьших квадратов.
Суть метода наименьших квадратов. (MHK)
Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных a и b, F(a,b)= (Yi-(aXi+b))^2принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений эксперементальных данных от найденной прямой будет наименьший. В этом вся суть метода наименьших квадратов.
Т.о, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных
Вывдо формула для нахождения коэффициентов.
Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными.
Находим частные производные функции F(a,b)= (Yi-(aXi+b))^2 по переменным a и b, приравниваем эти производные к нулю
Решаем полученную систему уравнений любым методом(например мотодом подстановки или методом Крамера) и получаем формулу для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов
При данных а и b функция F(a,b)= (Yi-(aXi+b))^2 принимает наименьшее значение.
Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра содержит суммы и параметр n – количство эксперементальных данных, коэффициент b находится после вычисления а.
Вопрос36. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства.
Множество
F(x) + C всех первообразных функций
для данной функции f (x) , где C
принимает все возможные числовые
значения, называется неопределенным
интегралом от функции f (x) и обозначается
символом.
Таким
образом, по определению,
где
F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С -
произвольная постоянная. В последней
формуле f(x) называется подинтегральной
функцией, f(x)dx - подинтегральным
выражением, а символ
-
знаком неопределенного
интеграла.
Неопределенным
интегралом называют не только множество
всех первообразных, но и любую функцию
этого множества.
Таким образом,
неопределенный интеграл представляет
собой любую функцию, дифференциал
которой равен подинтегральному выражению,
а производная равна подинтегральной
функции.Нахождение первообразной по
данной функции f(x) называется
интегрированием и является действием,
обратным дифференцированию.
Свойства:
1.Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции.
(f(x)dx)’=f(x)
Имеем:
(Sf(x)dx)’=(f(x)+c)’=F’(x)+c’=f(x)
2.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
d S f(x)dx)’=f(x)dx
Поскольку S f(x)dx=F(x)+c, то
S f(x)dx=d(F(x)+c)=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
3.Интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции
S dF(x)=F(x)+c
Имеем.
SdF(x)=S F’(x)dx=F(x)+c
4.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла или вносить под знак интеграла
Sk*f(x)dx=kSf(x)dx
Рассмотрим дифференциал.
D(kSf(x)dx)=kdSf(x)dx=k*f(x)dx.
(использовали свойство, что постоянный множитель можно вносить за знак производной или дифференциала)Тогда по определению интеграла имеем, что K S f(x)d есть первооброзная для функции K f(x), что и доказывает справедливость данного утверждения
5.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций
S(f(x)+-g(x))dx=Sf(x)dx+-Sg(x)dx.
По первому свойству
(S(f(x)+-g(x))dx)=f(x)+-g(x)
По свойству производной
(Sf(x)dx+-(g(x)dx)’=(Sf(x)dx)’=(Sf(x)dx)’+-(Sg(x)dx)’=f(x)+-g(x)
Таким образом S(f(x)+-g(x))dx и Sf(x)dx+-Sg(x)dx являются первообразным для одних и тех же функций.