Вопрос33. Нелинейное программирование. Метод Лагранжа.

Нелинейное программирование— случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением является нелинейная функция.

Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции при выполнении условий где  — параметры,  — ограничения,  — количество параметров,  — количество ограничений.В отличие от задачи линейного программирования, в задаче программирования нелинейного оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями.

Метод Лагранжа: Метод лагранжа условный экстремум

Y=f(X1,X2),g(X1,X2)=0

1)f(X1,X2)=>max(min)

2)g(X1,X2)=0

f(X1,X2)-целевая функция

g-функция связи

3)f(X1,X2,…….Xn)=>max(min)

4){G1 (X1,X2,…….Xn)=0

………………………………..

{Gm (X1,X2,…….Xn)=0 (m<n)

(4)-уравнение связи

Функция Лагранжа:(5)L(X1,X2,α)=d(x1,x2)+αg(X1,X2) .

Пусть Мо(Хо,Уо)-критическая точка и αо-множитель Лагранжа

(6)ðL/ ðX1=o;ðL/ ðX2=o; ðL/ ðα=o

Составляем определитель

|0 g’x g’y |

Δ =|g’x L’’xx L’’xy|

|gy L”xy L’’yy|

Если в точке Мо Δ<0, то функция z=d(x,y) имеет в точке Мо условный max

Если в точке Мо Δ<0, то функция z=d(x,y) имеет в точке Мо условный min

Геометрический смысл условий Лагранжа

ðL/ ðX1=d’X1(X1,X2)+ αg’X1(X1,X2)=0

ðL/ ðX2=d’x2(X1,X2)+ αg’X2(X1,X2)=0

ðL/ðα=g(X1,X2)=0 Первые два уравнения можно переписать в виде gradf=-α grad g.

Градиенты коллинеарны в точке условного Экстремума.

Вопрос34. Функция полезности. Кривые безразличия.

Фу́нкция поле́зности — экономическая модель для определения предпочтений экономических субъектов. Основополагающим условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для изображения предпочтений государственных интересов. Первая производная функции полезности по количеству определённого блага называется предельной полезностью этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности приносит дополнительная единица блага . Предельная полезность, равная 0, означает достижение насыщенности.

Большинство функций полезности, рассматриваемых в экономике, имеют отрицательную вторую производную — закон убывающей предельной полезности.

Функция полезности может быть использована для определения спроса потребителя через решение задачи о максимизации полезности.

Кривая безразличия — кривая, изображающая все комбинации из двух благ, имеющих для экономического субъекта одинаковую полезность и по отношению к выбору которых он безразличен. Понятие кривой безразличия восходит к Фрэнсису Эджворту и Вильфредо Парето.Свойства кривых безразличия:Кривые безразличия не могут пересекаться.

Каждая следующая кривая безразличия, проходящая дальше от начала координат, отражает большую величину полезности, чем предыдущая.Кривые безразличия имеют отрицательный наклон. Предельная норма замещения MRS одного блага другим уменьшается при движении вдоль кривой безразличия.