3.2 Числовые характеристики случайных величин

Время безотказной работы изделия – непрерывная случайная величина.

Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной величины Х существует определенная вероятность Р(Х < х) того, что Х не превышает значения х. Вероятность этого события называют функцией распределения:

F(х) = Р(Х < х). (3.1)

Функция распределения – универсальная характеристика, так как она является функцией как непрерывных, так и дискретных случайных величин. Функция (х) относится к неубывающим функциям: х монотонно возрастает при непрерывных процессах и ступенчато возрастает при дискретных процессах.

В пределах изменения случайной величины Х эта функция изменяется от 0 до 1:

F (–) = 0; F () = 1;

Производную от функции распределения по текущей переменной называют плотностью распределения

f(х) = dF(х)/d(x), (3.2)

которая характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. В теории надежности величину f(х) называют плотностью вероятности. Плотность распределения есть неотрицательная функция своего аргумента f(х)  0.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величин достаточно использовать некоторые числовые величины, среди которых в теории надежности наиболее употребительными являются математическое ожидание (среднее значение), мода и медиана (характеризуют положение центров группирования случайных величин на числовой оси), дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации (характеризуют рассеяние случайной величины).

Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками.

Характеристики распределения используют для прогнозирования надежности.

Для дискретных случайных величин математическое ожидание М[Х] равно сумме произведений всех возможных значений Х на вероятности этих значений:

. (3.3)

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражается интегралом в бесконечных пределах от произведения непрерывно изменяющихся возможных значений случайной величины на плотность распределения

. (3.4)

Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано с ее средним значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметическое значение величины х приближается к математическому ожиданию и называется оценкой среднего значения:

. (3.5)

где п – общее число опытов; х_i – текущее значение случайной величины.

Пример 5.1 Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина X (количество бракованных изделий) задана рядом распределения.

Хi	0	1	2	3	4	5
рi	0,2373	0,3955	0,2637	0,0879	0,0146	0,0010

Решение. По формуле (3.3) находим

M[X] = 0  0,2373 + 1  0,3955 + 2  0,2637 + 3  0,03879 + 4  0,0146 + 5  0,0010 = 1,25.

В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины X и обозначают D[X],

т.е дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания.

Для дискретной случайной величины дисперсия равна:

. (3.6)

Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется из выражения

. (3.7)

Дисперсия случайной величины является характеристикой рассеяния – разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности случайной величины.

Для наглядности в качестве характеристики рассеяния удобнее использовать величину, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой может быть среднее квадратическое отклонение, которое определяется как корень квадратный из дисперсии:

. (3.8)

Чем больше разбросаны значения случайных величин, т.е., чем больше оно отличается от математического ожидания, тем больше дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации, который равен:

[X] = [X] /M[X]. (3.9)

Модой случайной величины называют ее наиболее вероятное значение или то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.

Рис. 3.1 Мода и медиана

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Начальным моментом q-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины:

_{. (3.10)}

Начальный момент дискретной случайной величины

_{, (3.11)}

начальный момент непрерывной случайной величины

_{. (3.12)}

Центральным моментом q-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины [X – M(X)]^q:

_q = M((x_i – M[X])²). (3.13)

Центральный момент дискретной случайной величины

_{, (3.14)}

центральный момент непрерывной случайной величины

_(3.15)

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка — дисперсию случайной величины.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):

_{. (3.16)}

Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс):

_(3.17)

Пример 3.2. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей

Знайти коефіцієнт а, математичне очікування, дисперсію та інші коефіцієнти.

Рішення

Враховуючи, що ця площа повинна дорівнювати одиниці а = 3/8. Тоді, математичне очікування

його квадрат

дисперсія

D[X] = M(X²) – (M(X))² = 2,4 – (1,5)² = 0,15;

середнє квадратичне відхилення випадкової величини

.

Використовуючи початкові моменти, визначаємо центральні моменти третього і четвертого порядку

;

;

;

;

;

;

;

.

Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности. Квантиль, соответствующую вероятности 0,5, называют медианой.

Аналогично предыдущим характеристикам понятия моды и медианы даны в статистической трактовке. Для симметричного модального (т.е. имеющего один максимум) распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

Пример 3.3. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

Найти коэффициент а и плотность распределения f(х).

Решение. Так как функция распределения случайной величины Х непрерывна, то при х= 1, ах³ = 1, откуда а = 1.

Плотность распределения выражается соотношением

Пример 3.4. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х описывается выражением

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Решение. Математическое ожидание найдем по формуле (3.4):

Для определения дисперсии используем формулу (3.7):

.

Среднее квадратическое отклонение соответственно равно:

.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение случайной величины.

2. Дайте определение функции распределения и плотности распределения случайной величины.

3. Какие статистические характеристики используют для прогнозирования надежности?

4. Дайте определение дисперсии и математического ожидания.

5. Какой безразмерной величиной оценивают рассеивание случайных величин? Какие показатели обобщают числовые характеристики случайной величины?