1.3. Линейные пространства
Часто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции
сложения и умножения на числа. Например, векторы в геометрии в трехмерном
пространстве умножаются на числа и складываются. Вещественные функции веще-
ственных аргументов умножаются на числа и складываются и т. п. Одни и те же
операции производятся над совершенно разными объектами. Для того чтобы изу-
чить все такие примеры с единой точки зрения, вводится понятие линейного (или
векторного) пространства.
Пусть на множестве L элементов , x y, z, … заданы два отображения:
где R — множество действительных чисел ("вещественная прямая"). Обозначим эти
отображения как:
соответственно.
Тогда множество L называется действительным линейным пространством, если
для введенных отображений выполнены следующие требования:
1.
(коммутативность).
2
(ассоциативность).
3.
(существование нуля).
4. Для
(существование
противоположного элемента).
5. 1
6.
7.
8.
Часто говорят о линейном векторном пространстве. Сами элементы L также назы-
ваются векторами.
Если вместо множества R действительных чисел используется множество C ком-
плексных чисел, то получим комплексное линейное пространство.
Непустое подмножество линейного пространства L называется подпространством,
если оно само является линейным пространством по отношению к определенным
в L операциям.
Пусть
— произвольное непустое
семейство элементов
линейного пространст-
ва L (счетность множества не предполагается). Определение понятия семейства
элементов было дано выше. Рассмотрим все подпространства линейного пространст-
ва L, содержащие заданную систему векторов . Пересечение этих подпро-
странств, очевидно, тоже будет подпространством. Это так называемое наименьшее
подпространство, содержащее . Оно называется подпространством, порожден-
ным множеством , или линейной оболочкой семейства элементов .
Примеры линейных пространств.
1. Множество R действительных чисел с обычными операциями сложения и умно-
жения ( L совпадает с R).
2. Совокупность систем n действительных (или комплексных) чисел
,
где сложение и умножение на число
определяются формулами
называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается n
(для действительного
пространства) или
(в комплексном случае).
3. Множество непрерывных на отрезке a, b функций с обычными операциями
сложения и умножения на числа образует векторные пространства C a,b , a,b
Конечное
множество векторов
называется линейно
зависимым, если существует
множество чисел
,
из которых не все равны нулю, такое, что
.Если
то конечное множество называется линейно независимым.
Замечание. Важно, что линейная зависимость и линейная независимость — свой-
ства множества векторов. Однако соответствующие прилагательные часто условно
применяются к самим векторам, которые называются линейно зависимыми или ли-
нейно независимыми.
Множество X (не обязательно конечное) называется линейно независимым, если
линейно независимо любое его конечное подмножество. В противном случае мно-
жество X — линейно зависимо.
Если
— конечное
множество и для некоторого
справедливо представле-
ние
=
,
то говорят, что x
является линейной
комбинацией векторов
.
Линейное пространство L называется конечномерным, если в нем существует n ли-
нейно независимых векторов, а любые n +1 векторы — линейно зависимы. В этом
случае говорят, что L имеет размерность n. Любой набор из n линейно независи-
мых векторов n-мерного пространства L называется базисом этого пространства.
Если существует любое количество линейно независимых векторов, то пространст-
во L называется бесконечномерным. Понятие базиса бесконечномерного простран-
ства здесь не обсуждается.
Примеры.
1. Можно доказать, что
пространства
,
имеют размерность n,
поэтому и бы-
ли названы ранее n-мерными пространствами.
2. Пространства C a, b , a, b бесконечномерные.
3. Базисом в пространстве
является любое
действительное число, отличное
от нуля.
4. Базис в пространстве образует, например, система векторов 1, 0, ..., 0 ,
0, 1, ..., 0 , ..., 0, 0, ..., 1 .
n-мерные пространства изучаются в курсах по линейной алгебре и являются осно-
вой для задач нелинейного программирования. Пространства с бесконечным чис-
лом измерений изучаются в функциональном анализе и представляют основной
интерес для бесконечномерных оптимизационных задач, например, для задач тео-
рии оптимального управления.