Тема 8 средние величины
Средние величины широко распространены в статистике. В средних величинах отображаются средние показатели товарооборота, товарных запасов, цен, издержки обращения, прибыль, рентабельность.
Прибыль – показатель эффект.
Рентабельность – показатель эффективности.
Если совокупность величин состоит из множества единиц какого-либо свойства, то средняя, отвлекаясь от индивидуальных значений, характеризует общее, типичное, присущее всей совокупности в целом. В средней величине компенсируются, погашаются случайные отклонения индивидуальных величин.
Закон «больших чисел» построен на средних величинах.
Сам закон «больших чисел» состоит в постоянном погашении элемента случайности в сводных характеристиках совокупности по мере увеличения ее численности.
Вместе с тем, средняя величина, являясь обобщенной характеристикой совокупности, в целом не изменяет конкретных индивидуальных величин.
Средней величиной в статистике называют обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности, отражающую типичный уровень этого признака в расчете на единицу совокупности.
Существуют различные категории средних величин. Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая, под которой понимается такое среднее значение признака, при замене которым индивидуальных значений признака суммарный объем этого признака по совокупности в целом сохраняется неизменным, т.е. средняя арифметическая есть средняя слагаемая.
Средняя арифметическая простая
=
- индивидуальные
значения признака
n – количество единиц совокупности
Простая средняя арифметическая используется в расчете фондового индекса Доу-Джонса для определения остатка оборотных средств по балансу, среднегодовой численности населения.
Средняя арифметическая взвешенная
=
- частота, вес
При этом величина средней зависит в данном случае от соотношения их весов: чем больше веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней и наоборот.
Если значение признака задано интервалом, то в качестве варианта средней величины берется середина интервала – центральное значение:
=
Средняя арифметическая хронологическая
=
Любая средняя величина может быть представлена:
=
Свойства средних
Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:
= А при А = const
Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты:
=
Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:
Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть величина минимума:
Или сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:
Вычислительные свойства средней арифметической
Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину А, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на ту же самую величину А:
Если все значения признака разделить (умножить) на одну и ту же величину А, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) в А раз.
Если вес каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится.