Интервальная оценка средних и индивидуальных значений объясняемой переменной при заданном значении объясняющей переменной.

Рассмотрим уравнение y = a₀+a₁x+ при некотором фиксированном значении x = x₀. Тогда среднее значение случайной величины y равно a₀+a₁x₀, а индивидуальное a₀+a₁x₀+. Для оценки этих величин естественно использовать соотношения b₀+b₁x₀ и соответственно b₀+b₁x₀+

Найдем законы распределения этих случайных величин и характеристики. Рассмотрим сначала случайную величину .

Найдем ковариацию случайных величин

и .

Следовательно,

, ,

.

Можно показать, что случайные величины и являются независимыми, следовательно, случайная величина распределена по нормальному закону. Если взять в качестве оценки параметра  статистику s то получим, что случайная величина

, ,

распределена по закону Стьюдента с N2 степенями свободы.

Интервальная оценка с доверительной вероятностью  средних значений переменной y при x = x₀.

.

Для индивидуальных значений переменной y все аналогично. Дисперсия случайной величины равна

и интервальная оценка индивидуальных значений имеет вид

,

Где .

Проверка гипотезы о значимости коэффициентов линейной регрессии. Оценивание качества приближения с помощью коэффициента детерминации.

Выше мы оценивали параметры линейной регрессии в условиях классической нормальной модели. Статистики, используемые для оценивания коэффициентов линейной регрессии, зависят от стохастической части регрессионной зависимости . Даже если истинные значения параметров a₁ и a₀ равны нулю, реализации случайных величин b₁ и b₀, как правило, будут отличаться от нуля. Если параметры a₁ и a₀ равны нулю, мы будем называть их незначимыми. Наша задача – сформировать процедуру проверки гипотезы о незначимости коэффициентов линейной регрессии и уравнения регрессии в целом по найденным точечным оценкам параметров b₁ и b₀.

Статистическая гипотеза– высказывание о свойствах генеральной совокупности. Например, статистической гипотезой является предположение о том, что коэффициент a₁ в уравнении регрессии равен нулю.

Ошибка 1–го рода– это отказ от гипотезы в случае, когда она верна. Ошибка 2–го рода– принятие гипотезы в случае, когда она не верна. Вероятность сделать ошибку 1–го рода при проверке гипотезы с помощью некоторого критерия называется уровнем значимости критерия. Вероятность не сделать ошибку 2–го рода называется мощностью критерия.

Любой возможный критерий проверки гипотезы о значимости коэффициентов регрессии основан на свойствах распределения случайных величин b₁, b₀ и s². Напомним, что случайные величины

,

распределены по закону Стьюдента с числом степеней свободы, равным N 2. В частности, если a₁ = 0, то вероятность события

равна

.

Напомним, что критической точкой распределения Стьюдента с числом степеней свободы n и доверительной вероятностью  называется решение уравнения

Следовательно, если гипотеза о равенстве нулю коэффициента a₁ верна, то вероятность уклонения величины от нуля на величину не превосходит = 1. Это дает следующий простой критерий проверки гипотезы о незначимости коэффициента a₁ на уровне значимости . Если , то гипотеза о равенстве нулю коэффициента a₁ принимается. Иначе, гипотеза отвергается, и коэффициент a₁ считается существенно отличным от нуля. Действительно, ошибку первого рода мы сделаем лишь в том случае, когда отвергнем гипотезу, то есть при условии .Но вероятность этого события заведомо не превосходит величины . Следовательно, уровень значимости критерия равен .

Аналогично формулируется критерий проверки гипотезы о значимости коэффициента a₀. Если

то гипотеза о равенстве нулю коэффициента a₀ принимается. Иначе, гипотеза отвергается, и коэффициент a₀ считается существенно отличным от нуля.