Транспортная задача.
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Запасы |
1 |
2 |
6 |
2 |
0 |
80 |
2 |
6 |
1 |
5 |
0 |
170 |
3 |
1 |
4 |
4 |
0 |
180 |
Потребности |
120 |
90 |
150 |
70 |
|
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 80 + 170 + 180 = 430
∑b = 120 + 90 + 150 + 70 = 430
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.
Занесем исходные данные в таблицу.
1. Используем метод северо-западного угла сформируем первый план перевозок.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Запасы |
1 |
2 80 |
6 |
2 |
0 |
80 |
2 |
6 40 |
1 90 |
5 40 |
0 |
170 |
3 |
1 |
4 |
4 110 |
0 70 |
180 |
Потребности |
120 |
90 |
150 |
70 |
|
В результате сформирован первый план перевозок, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, таблица невырожденным.
Затраты : F(x) = 2*80 + 6*40 + 1*90 + 5*40 + 4*110 + 0*70 = 1130
Проверим оптимальность сформированного плана перевозок. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 2; 0 + v1 = 2; v1 = 2
u2 + v1 = 6; 2 + u2 = 6; u2 = 4
u2 + v2 = 1; 4 + v2 = 1; v2 = -3
u2 + v3 = 5; 4 + v3 = 5; v3 = 1
u3 + v3 = 4; 1 + u3 = 4; u3 = 3
u3 + v4 = 0; 3 + v4 = 0; v4 = -3
|
v1=2 |
v2=-3 |
v3=1 |
v4=-3 |
u1=0 |
2 80 |
6 |
2 |
0 |
u2=4 |
6 40 |
1 90 |
5 40 |
0 |
u3=3 |
1 |
4 |
4 110 |
0 70 |
Сформированный план перевозок не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(2;4): 4 + -3 > 0; ∆24 = 4 + -3 - 0 = 1
(3;1): 3 + 2 > 1; ∆31 = 3 + 2 - 1 = 4
max(1,4) = 4
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 1
Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных«-», «+», «-».
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Запасы |
1 |
2 80 |
6 |
2 |
0 |
80 |
2 |
6 40 - |
1 90 |
5 40 + |
0 |
170 |
3 |
1 + |
4 |
4 110 - |
0 70 |
180 |
Потребности |
120 |
90 |
150 |
70 |
|
Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,3 → 2,3 → 2,1).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 1) = 40. Прибавляем 40 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 40 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получаем новую таблицу.