3.2.3 Методика проверки гипотезы о нормальности

распределения случайных величин

3.2.3.1 Общие сведения

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если имеются основания предположить, что это определенный закон, выдвигают гипотезу, что генеральная совокупность распределяется по данному закону. Большинство статистических оценок предполагает нормальное распределение результатов опытов. Для проверки гипотезы о виде распределения используют критерии согласия.

Сущность проверки по критерию согласия состоит в том, что выборка сравнивается с некоторым заранее намеченным теоретическим распределением. Вид теоретического распределения выбирается по характеру кривой эмпирического распределения. В большинстве случаев задаются нормальные теоретические распределения. При проверке гипотезы о виде закона распределения, как правило, используют критерий ² (хи-квадрат)

К. Пирсона. При его помощи можно сравнивать эмпирическое и теоретическое распределения или два различных эмпирических распределения.

Для проверки гипотезы о нормальности эмпирического распределения по критерию ² находится сумма отношений квадратов разностей между частотами эмпирического и теоретического распределения к теоретическим частотам

(3.7)

где R – количество интервалов, на которые разбиты опытные данные;

P_J – теоретические вероятности попадания опытных данных в J-й интервал;

P_Jn – теоретические частоты попаданий опытных данных в J-й интервал (с округлением до ближайшего целого числа);

m_J – эмпирические частоты попадания случайной величины в J-й интервал.

Вычисление теоретических вероятностей P_J производится по формуле 4

(3.8)

где Ф₀(Z) – нормированная функция Лапласа, определяется по табл. П.7 Приложения.

Аргументы Z₂ и Z₁ функции Лапласа определяются из выражений

(3.9)

где y_JН и y_JB – соответственно нижняя и верхняя границы интервала.

Для отрицательного значения аргумента функция Лапласа также отрицательна.

Просуммировав значения ² по формуле (3.7), получим расчетное значение критерия Пирсона ²_расч. Для определения ²_табл рассчитывается число степеней свободы по формуле

(3.10)

и задается уровень значимости q. По табл. П.7 Приложения находится значение ²_табл. Если ²_расч²_табл гипотеза о нормальности распределения принимается. Если ²_расч.²_табл. , то нулевая гипотеза отвергается.

Предварительно, до проверки нормальности распределения по ² Пирсона, проводится приближенная проверка его нормальности при помощи показателей асимметрии А и эксцесса Е, расчитываемых по формулам 4

, (3.11) , (3.12)

где S – эмпирический стандарт выборки (среднее квадратическое отклонение);

N – объем выборки ( m_J);

y – среднее значение выборки объемом N.

Затем вычисляют средние квадратические отклонения для асимметрии _А и эксцесса _Е по формулам 4

, (3.13)

. (3.14)

Если хотя бы одно значение из показателей А или Е по абсолютной величине в 2…3 раза превосходит значение соответствующего квадратического отклонения, то следует усомниться в нормальности распределения случайной величины и провести проверку с помощью ²-критерия Пирсона.