§ 4. Теореми додавання і множення ймовірностей

У цьому розділі встановлюється зв’язок між ймовірностями подій доданків або множників і ймовірністю їх суми або добутку. Цей зв’язок визначається наступними теоремами.

Теорема 1 (про ймовірність суми несумісних подій). Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей, тобто має місце формула

. (4.1)

Доведення теореми проведемо, опираючись на теоретичне визначення ймовірності події. Нехай та пов’язані з дослідом, який має рівноможливих результатів. З них події сприяє результатів, а події – результатів. Оскільки результати досліду несумісні, то події сприяє результатів досліду. За означенням маємо

.

Теорема легко узагальнюється на довільну кількість несумісних подій. Нехай події – несумісні, тоді

. (4.2)

З доведеної теореми також маємо наступні наслідки.

Наслідок 1. Сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює 1:

. (4.3)

Дійсно, , . Оскільки та несумісні, то з (4.1) випливає .

Аналогічно, використовуючи (4.2), можна довести (пропонується самостійно) наступне.

Наслідок 2. Якщо події утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює 1:

.

Теорема 2 (про ймовірність суми сумісних подій). Якщо події і сумісні, тоді

. (4.5)

Доведення. Використаємо те, що , . Аналогічно, . Тоді . Оскільки , то . Три події у правій частині отриманої рівності несумісні (див. рис. 3)

Рис. 3

Тоді

. (4.6)

Але

, .

Звідси знаходимо

, .

Після підстановки останніх рівностей у (4.6), маємо:

Теорему доведено.

Щоб користуватися формулою (4.5) для підрахунку ймовірностей, необхідно вміти знаходити ймовірність добутку двох подій. Для цього потрібно розрізняти залежні і незалежні події.

Подія називається залежною від події , якщо можливість появи події залежить від того, відбулась подія або не відбулась. Події та незалежні тоді, коли поява чи не поява однієї не впливає на можливість появи іншої.

У випадку залежних подій розглядають умовні ймовірності:

– ймовірність появи події за умови, що подія відбулась;

– ймовірність появи події за умови, що подія відбулась.

Очевидно, що коли події незалежні, тоді

, . (4.7)

Теорема 3 (про ймовірність добутку двох подій). Ймовірність добутку двох подій та дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої за умови, що перша подія відбулась. Тобто мають місце формули:

або . (4.8)

В доведенні знову скористаємося теоретичним означенням ймовірності. Нехай дві сумісні події та відбуваються у випробуванні, яке має рівноможливих результатів. Появі події сприяє результатів випробування, з яких сприяють і події . Тому одночасній появі та сприяє результатів з результатів випробування. Тоді

.

Перша формула з (4.8) доведена. Друга формула з (4.8) є наслідком того, що .

З (4.7) та теореми 3 випливає, що ймовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей

. (4.9)

Для довільної кількості залежних подій ймовірність їх добутку знаходиться згідно з формулою

. (4.10)

Якщо події попарно незалежні, тоді

. (4.11)

При розв’язанні задач з обчислення ймовірностей є корисною наступна теорема.

Теорема 4 (про ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій). Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій дорівнює різниці між 1 і добутком ймовірностей подій, протилежних даним.

Іншими словами, якщо – подія, яка полягає в тому, що у випробуванні відбудеться хоча б одна з незалежних подій , то

. (4.12)

Дійсно, з (4.3) маємо

,

Але і події теж незалежні. Тому

.