3. Попарные сравнения

При попарных сравнениях в распоряжение ЛПР дается шкала словесных определений уровня важности, причем каждому определению ставится в соответствие число (табл. 8).

Т а б л и ц а 8 – Шкала относительной важности

Уровень важности	Количественное значение
Равная важность	1
Умеренное превосходство	3
Существенное или сильное превосходство	5
Значительное (большое) превосходство	7
Очень большое превосходство	9

При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, ЛПР выражает свое мнение, используя одно из приведенных в табл. 8 определений. В матрицу сравнения заносится соответствующее число. Матрица сравнений критериев выбора площадки для аэропорта приведена в табл. 9.

Т а б л и ц а 9 – Матрица сравнений для критериев

Критерии	C1 Стоимость	С2 Время в пути до центра города	С3 Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям	Собственный вектор
C1 Стоимость	1	5	3	2,47
С2 Время в пути до центра города	1/5	1	3	0,848
С3 Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям	1/3	1/3	1	0,48

Матрица соответствует следующим предпочтениям гипотетического ЛПР: критерий «Стоимость» существенно превосходит критерий «Время в пути» и умеренно превосходит критерий «Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям»; критерий С₂ умеренно превосходит критерий С₃. На нижнем уровне иерархической схемы сравниваются заданные альтернативы (конкретные площадки) по каждому критерию отдельно. Приведем эти сравнения в табл. 10.

Таблица 10 – Относительная важность альтернатив по отдельным критериям

4. Вычисление коэффициентов важности

Таблицы 9 и 10 позволяют рассчитать коэффициенты важности соответствующих элементов иерархического уровня. Для этого нужно вычислить собственные векторы матрицы, а затем пронормировать их. Формула для этих вычислений: извлекается корень п-й степени (п — размерность матрицы сравнений) из произведений элементов каждой строки. Так, из табл. 9 определяются коэффициенты важности критериев. В последнем столбце таблицы приведены значения собственных векторов. Нормирование этих чисел дает: w₁=0,65; w₂=0,22; w₃=0,13, где w_i - вес i-го критерия.

Таким же способом на основе табл. 10 можно рассчитать важность каждой из площадок по каждому из критериев. В таблице приведены веса соответствующей площадки по каждому из критериев.

В книге Т. Саати (автора метода АНР) дается способ проверки согласованности суждений ЛПР при заполнении каждой из матриц - путем сравнения со случайно заполненной матрицей.

Ясно, что при сравнительно небольших ошибках ЛПР условие согласованности выполняется.

5. Определение наилучшей альтернативы

Синтез полученных коэффициентов важности осуществляется по формуле:

где S — показатель качества j-й альтернативы; w_i — вес i-гo критерия; V_ji— важность j-й альтернативы по i-му критерию.

Для трех площадок проведенные вычисления позволяют определить:

S_A= 0,65  0,69 + 0,22  0,07 + 0,13  0,68 = 0,552;

S_B = 0,65  0,19 + 0,22  0,65 + 0,13  8) 0,09 = 0,278;

S_K= 0,65  0,12 + 0,22  0,28 + 0,13  0,23 = 0,17.

Итак, альтернатива А оказалась лучшей.

Группа методов (ЭЛЕКТРА I, ЭЛЕКТРА II, ЭЛЕК­ТРА III) была разработана коллективом французских ученых, возгла­вляемым профессором Б. Руа. В этих методах бинарное отношение предпочтения, более сильное, чем отношение Парето, строится следую­щим образом.

Для каждого из n критериев (предполагается, что критерии чи­словые) определяется вес – число, характеризующее важность соответствующего критерия, которое тем больше, чем важнее для ЛПР соответствующий критерий. Эти веса могут быть определены либо ранжированием, либо, например, по методу Саати. Для того, чтобы определить, превосходит альтернативный вариант , вариант (где - значения i-го критерия, сообщаемые ему вариантами х и у соответственно), производятся следующие действия.

Множество I критериев разбивается на три подмножества:

– критерии, по которым х превосходит у;

– критерии, по которым х и у имеют одинаковые оценки;

– критерии, по которым у превосходит х.

Далее определяется относительная важность , , каждого из этих подмножеств

(5.1)

Устанавливается также некоторый по­рог с и считается, что вариант х превосходит вариант у только в том случае, когда некоторая функция, называемая индексом согласия, удовлетворяет условию (5.2)

Вид функции определяется по своему для каждой модификации метода ЭЛЕКТРА.

В качестве условия (5.2) в методе ЭЛЕКТРА I предлагается рассматривать выражение вида:

(5.3)

в методе ЭЛЕКТРА II – выражение вида

(5.4)

Следует отметить, что условие (5.3) можно применять лишь то­гда, когда сравнение альтернатив происходит в строгих шкалах (то­гда множество пусто) или когда число совпадающих оценок у различных вариантов достаточно мало по сравнению с n. В противном случае отношение предпочтения, может оказаться симметричным: x лучше у (хRу) и у лучше х (уRх) одновременно. Поэтому, если ис­пользуются нестрогие шкалы, то лучше пользоваться условием (5.4).

Условие (5.2) является необходимым, но не достаточным усло­вием превосходства х над у. В методах ЭЛЕКТРА формулируются допо­лнительные условия, предназначенные учитывать не только порядок следования оценок х и у по критериям, но и значения модулей раз­ностей . Эти условия, называемые индексом несогласия, мо­гут быть записаны в виде (5.5), где – пороговое значение индекса несогласия .

для каж­дой модификации метода ЭЛЕКТРА определяются по-своему.

Таким образом, отношение предпочтения определяется следую­щим образом: (5.6)

Особенность методов ЭЛЕКТРА состоит в том, что в них нес­колько отступают от традиционных методов выделения подмножества недоминируемых вариантов. Следуя теории игр, их создатели предла­гают несколько расширить это подмножество путем выделения в исхо­дном множестве некоего ядра, все элементы которого несравнимы между собой, а любой вариант, в ядро не вошедший, доминируется хотя бы одним элементом ядра.

Выделение ядра на множестве исходных вариантов является зак­лючительным этапом методов ЭЛЕКТРА. Дальнейшее сужение ядра может быть достигнуто заданием других, более жестких ограничений в ус­ловиях (5.2) и (5.5), т. е. увеличением порогового значения индек­са согласия с и уменьшением порогового значения индекса несогла­сия d.

Пусть в исходном множестве альтернативных вариантов, сра­вниваемых по пяти критериям, определены следующие семь недоминируемых по Парето:

Применим метод ЭЛЕКТРА для того, чтобы, получив у ЛПР дополнительную информацию, сократить число вариантов, которое будет предложено ему для окончательного выбора.

1-й этап. От ЛПР получается информация о сравнительной важности критериев. Пусть ЛПР сообщил, что:

– критерии 1 и 2 имеют одинаковую важность;

– критерии 3, 4 и 5 имеют также одинаковую важность;

– каждый из первых двух критериев важнее каждого из оставшихся.

Пусть в соответствии с этой информацией критериям назначены веса:

2-й этап. Строим матрицу 7*7, в которой элемент a_tj опреде­ляется следующим образом:

Допустим, что в качестве порогового значения индекса согла­сия выбрано на основе консультаций с ЛПР c₂ = 1,25. Как видно из таблицы 5.1, любой из семи вариантов доминируется хотя бы одним из остальных.

Таблица 5.1 – Матрица значений a_tj

–	6	1,3	0,75	0,75	0,75	0,17
0,17	–	0,75	0,75	0,75	0,75	0,17
0,75	1,3	–	0,75	0,75	0,75	0,17
1,3	1,3	1,3	–	0,75	0,75	0,75
1,3	1,3	1,3	1,3	–	0,4	1,3
1,3	1,3	1,3	1,3	2,5	–	0,75
6	6	6	1,3	0,75	1,3	–

Поэтому без учета индекса несогласия подмножество оптимальных вариантов оказалось бы пустым.

3-й этап. С помощью ЛПР устанавливается индекс несогласия. Пусть D = {(х, у): x_t – у_t > 5}.

В этом случае один из вариантов – х⁷ - оказывается недоминируемым, оптимальным будет считаться также и вариант х⁵, который несравним с х⁷.

Таким образом, применение метода ЭЛЕКТРА позволило более полно учесть мнение ЛПР и сократить исходное множество решений до двух элементов.