§5.5. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций
5.5.1. Непрерывность сложной функции
ТЕОРЕМА 5.6.
Пусть функция
,
заданная на интервале
с множеством значений
,
непрерывна в точке
,
а функция
,
заданная на интервале
с множеством значений
,
непрерывна в точке
,
тогда сложная функция
с областью
определения
и множеством значений
,
непрерывна в точке
.
Доказательство.
Так как функция
непрерывна в точке
,
то
,
удовлетворяющего условию
справедливо неравенство
.
Так как функция
непрерывна в точке
,
то
,
удовлетворяющего условию
справедливо
.
Отсюда,
,
то есть
.
Значит, по определению, функция
непрерывна
в точке
Следствие 5.2.
Если функция
непрерывна на интервале
,
а функция
непрерывна на интервале
,
то сложная функция
непрерывна на интервале
.
Замечание 5.12. Утверждение теоремы 5.6 можно записать следующим образом:
.
Следствие 5.3. В условиях теоремы 5.6 справедливо правило замены переменной для пределов непрерывных функций
,
где
.
5.5.2. Непрерывность обратной функции
ТЕОРЕМА 5.7. Пусть
функция
,
заданная на отрезке
с множеством значений
есть непрерывная, строго монотонная
функция,
,
и пусть существует обратная функция
с областью
определения
и множеством значений
.
Тогда
непрерывна на отрезке
.
Доказательство. Пусть строго возрастает. Убедимся, что строго возрастает на (рис. 5.13).
Действительно,
если допустить, что при некоторых
выполнено
,
то с учетом строгого возрастания
имеем:
,
что противоречит условию
.
Убедимся, что
непрерывна в любой точке
.
Возьмем произвольную последовательность
,
такую что
.
Нужно проверить, что
.
Рис. 5.13
Если это не так,
то за пределами некоторой окрестности
точки
содержится бесконечно много членов
последовательности
.
Поэтому можно найти подпоследовательность
:
(или
).
Если, например, выполнено неравенство
,
то
.
Устремляя
,
получим
(так как
,
то любая подпоследовательность имеет
тот же предел),
,
то есть
.
Получаем противоречие. Для убывающей
функции доказывается аналогично.
ТЕОРЕМА 5.8 (о
существовании обратной функции).
Если функция
непрерывна и строго возрастает (строго
убывает)
на отрезке
,
то для неё существует обратная функция
непрерывная
и строго возрастающая (строго
убывающая)
на отрезке
.
Доказательство.
Для установления
факта наличия обратной функции надо
показать, что для любого
существует единственная точка
такая, что
(рис. 5.14). Единственность такой точки
вытекает из строгого возрастания функции
,
согласно которому,
при
.
Рис. 5.14. Существование обратной функции
Существование
таких точек
,
когда
и
,
также очевидно — это точки
и
.
Если же
,
то согласно второй теореме Больцано-Коши,
существует точка
,
такая что
.
Аналогично теорема доказывается для строго убывающей функции.
5.5.3. Непрерывность элементарных функций
ТЕОРЕМА 5.9. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
Примеры.
5.11. Исследовать функцию
на непрерывность.
Решение.
Заданная функция
определена при
.
При
функция
не определена, следовательно, она не
является непрерывной в этой точке. Так
как
и, следовательно,
,
то
— устранимая точка разрыва. В остальных
точках своей области определения она
непрерывна как элементарная.
5.12. Исследовать на непрерывность функцию
Решение.
В отличие от примера
5.11, эта функция доопределена в точке
так, что
.
Следовательно, данная функция непрерывна
в этой точке.
5.13. Исследовать функцию
на непрерывность.
Рис. 5.15. График функции к примеру 5.13
Решение. Заданная
функция является элементарной функцией,
определенной при
.
В точке
функция не определена. Найдем односторонние
пределы при
и при
.
(так как при
показатель степени
и
).
(так как при
показатель степени
,
).
Так как
и эти односторонние пределы конечны,
то в точке
функция имеет разрыв I
рода (рис. 5.15).
5.14. Исследовать на непрерывность функцию
Решение.
Функция определена
на всей числовой оси. Проверим, будет
ли она непрерывна в точках
и
,
в остальных точках своей области
определения она непрерывна как
элементарная (рис. 5.16).
,
следовательно
— точка разрыва I
рода.
,
следовательно, функция непрерывна в
точке
.
Рис. 5.16. График функции к примеру 5.14
5.15. Исследовать функцию
на непрерывность.
Решение.
Это
элементарная функция, ее область
определения
,
в точке
функция не определена. Найдем односторонние
пределы
и
.
,
.
Так как
,
но в
точке
функция
не определена,
то
является точкой устранимого разрыва.
Построим
график заданной функции. При
упростим выражение:
.
Тогда получим график функции на рисунке 5.17.
Рис. 5.17. График функции к примеру 5.15