§5.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойство I. Ограниченность непрерывной функции

ТЕОРЕМА 5.2 (Первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда на этом отрезке ограничена, то есть существует число , такое, что для всех .

Доказательство. Доказательство проводим от противного. Пусть функция не ограничена сверху на отрезке , то есть существует последовательность такая, что . Последовательность , то есть ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность , такую что , где .

По условию функция непрерывна на , следовательно, и в точке , то есть . Таким образом, последовательность является бесконечно малой, что невозможно, так как и при возрастании номеров последовательность является бесконечно большой. Получили противоречие. Значит, функция ограничена сверху на отрезке .

Аналогично доказывают ограниченность функции снизу на отрезке . Следовательно, функция ограничена на этом отрезке.

Замечание 5.6. Непрерывная функция, заданная на полуинтервале или интервале может не быть ограниченной. Например, функция непрерывна на , но не является ограниченной сверху на этом промежутке (рис. 5.8), так как

.

Рис. 5.8. График функции к замечанию 5.6

Свойство II. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции

Пусть функция задана на отрезке и .

Определение 5.5. Если для всех точек выполняется неравенство , то говорят, что функция принимает в точке наибольшее значение на отрезке .

Если для всех точек выполняется неравенство , то говорят, что функция принимает в точке наименьшее значение на отрезке .

ТЕОРЕМА 5.3. (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то хотя бы в одной точке этого отрезка функция принимает наибольшее значение и хотя бы в одной — наименьшее.

Замечание 5.7. Требование в теореме 5.3 непрерывности функции на существенно. Функция (пример 2.4) на отрезке не принимает наибольшее значение, так как на правом конце этого отрезка функция терпит разрыв первого рода, и (рис. 5.9).

Рис. 5.9. График к замечанию 5.7

Замечание 5.8. Требование непрерывности функции именно на отрезке существенно. Так функция непрерывна и ограничена на всей числовой оси, но не достигает на этом множестве своих наибольшего и наименьшего значений (рис. 2.25).

Замечание 5.9. Если на множестве функция принимает свои наибольшее и наименьшее значения, то обозначается это следующим образом:

, .

Свойство III. Теоремы о промежуточных значениях непрерывных функций

ТЕОРЕМА 5.4 (Первая теорема Больцано-Коши о существовании корней непрерывной функции). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда, если она принимает на концах отрезка разные по знаку значения, то есть , то существует точка , такая что

.

Доказательство. Пусть, для определенности, , (рис. 5.10). Обозначим отрезок через . Разделим этот отрезок пополам точкой . Тогда в этой точке либо обратится в ноль и теорема доказана, либо на одной из половин отрезка знаки функции в концевых точках останутся различными. Выберем эту половину и обозначим её . Далее продолжим процесс деления пополам. В точке либо обратится в ноль, и теорема доказана, либо на одной из половин отрезка функция на концах будет иметь разные знаки. Обозначим эту половину . В дальнейшем процесс либо прервется, если на одной из середин делимых отрезков получим нулевое значение , либо образуется бесконечная последовательность вложенных промежутков длиной .

Рис. 5.10. Существование корней непрерывной функции

Тогда при и по теореме Кантора точки и образуют две сходящиеся к общему пределу последовательности: , , так как и .

В соответствии с выбором и . Отсюда следует, что и . С другой стороны, в силу непрерывности и поскольку и при , то и . Значит, и , следовательно, .

ТЕОРЕМА 5.5 (Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , . Тогда для любого числа найдется такая точка , что .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Она непрерывна на отрезке и на концах принимает различные по знаку значения, следовательно, по первой теореме Больцано-Коши существует точка : , то есть , значит, .

Замечание 5.10. В теоремах 5.4 и 5.5 точка может быть не единственной. На рисунке 5.11 таких точек пять.

Рис. 5.11. Промежуточные значения непрерывной функции

Замечание 5.11. В теоремах 5.4 и 5.5 требование непрерывности функции на отрезке также существенно. Рассмотрим, например, функцию

Для разрывной функции не существует такой, что (рис. 5.12).

Рис. 5.12. График функции к замечанию 5.11