§5.2. Точки разрыва функции и их классификация

Определение 5.7. Пусть функция определена на интервале кроме быть может, точки . Точка называется точкой разрыва функции , если функция не определена в этой точке или, если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Точки разрыва функции классифицируют исходя из информации об односторонних пределах и .

I. Точка разрыва функции называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные, равные между собой односторонние пределы = . В этом случае можно исправить или доопределить (если не была определена) до непрерывной, положив .

II. Точка называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы и , но не равные между собой .

III. Точка называется точкой разрыва второго рода, если имеет место любая другая ситуация, отличная от I и II (хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует).

Примеры.

5.6. Определить характер разрыва функции

в точке .

Решение.

Рис. 5.5. График функции к примеру 5.6

Точка — устранимая точка разрыва, так как (рис. 5.5).

5.7. Определить характер разрыва функции

в точке .

Решение.

Так как , то — точка разрыва I рода (рис. 2.3).

5.8. Определить характер разрыва функции

в точке .

Решение.

Точка — точка разрыва II рода, так как существует , но не существует конечный предел справа (рис. 5.6).

Рис. 5.6. График функции к примеру 5.8

5.9. Определить характер разрыва функции

в точке .

Решение.

Для этой функции точка является точкой разрыва II рода, поскольку функция не имеет предела в этой точке.

Действительно, возьмем две бесконечно малые последовательности , , значит, и , , но . Получаем, что последовательности значений функции стремятся к разным числам, откуда следует, что не существует предела функции в точке .

5.10. Показать, что функция Дирихле

не имеет точек непрерывности во всей области своего определения.

Решение.

Функция Дирихле определена при . Каждая точка области определения является точкой разрыва II рода, так как не существует ни одного одностороннего предела во всех точках . Действительно, можно построить последовательности и , такие что (или ). Однако , , значит, (или ) не существует.

§5.3. Свойства функций, непрерывных в точке и на интервале

Свойство I. Непрерывность арифметических операций

ТЕОРЕМА 5.1. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны и функции:

1)

2)

3)

4) если

Доказательство. Непрерывность функций 1)-4) можно доказать исходя из определения непрерывности и свойств функций, имеющих предел. Докажем, например, 3):

,

откуда следует непрерывность функции Остальные утверждения доказываются аналогично.

Следствие 5.1. Если функции и непрерывны на интервале , то указанные выше функции 1)-4) непрерывны на .

Свойство II. Устойчивость значений непрерывных функций

Лемма. Пусть функция задана на отрезке и непрерывна в точке . Если , то существует -окрестность точки такая, что (соответственно ) для всех .

Рис. 5.7. Устойчивость значений непрерывных функций

Доказательство. Докажем для случая (рис. 5.7). Из этого неравенства и в силу плотности множества вещественных чисел найдется такое , что . Используя непрерывность функции в точке , для данного найдем такое, что выполнено неравенство . Отсюда получим, что выполнено неравенство .

Для случая теорема доказывается аналогично.

Замечание 5.5. В условии леммы не исключается, что ( ). В этом случае утверждение леммы называется свойством устойчивости знака непрерывной функции.