Глава 5 Непрерывность функции

§5.1. Понятие непрерывной функции

5.1.1. Основные определения

Понятие непрерывности, как и понятие предела, — одно из основных понятий в курсе высшей математики.

Определение 5.1. Функция , заданная на интервале называется непрерывной в точке , если .

Если функция непрерывна в каждой точке , то говорят, что непрерывна на .

Примеры.

5.1. Пользуясь определением, показать, что функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Решение.

Так как выполнено равенство , то по определению 5.1 функция непрерывна в каждой точке .

5.2. Показать, что функция непрерывна в каждой точке .

Решение.

Функция определена . Поскольку выполнено равенство (рис. 5.1), то по определению 5.1 функция непрерывна в каждой точке .

Рис. 5.1. График функции к примеру 5.2

5.3. Определить, является ли функция

непрерывной в точке .

Решение.

Функция определена в каждой точке . В точке функция не имеет предела (см. пример 4.4), поэтому по определению 5.1 эта функция не является непрерывной в точке .

5.4. Показать, что функция

не является непрерывной в точке .

Решение.

Хотя в точке существует , но этот предел не совпадает со значением функции в этой же точке (рис. 5.2).

Рис. 5.2. График функции к примеру 5.4

Замечание 5.1. Непрерывность функции в точке предполагает выполнение двух условий:

1) существует ;

2) предел функции совпадает со значением функции в точке , то есть

.

Другими словами, для непрерывных функций справедливо равенство:

.

Замечание 5.2. На языке непрерывность в точке означает, что , удовлетворяющих условию выполнено неравенство .

Замечание 5.3. На языке последовательностей непрерывность в точке означает, что для любой последовательности , такой, что выполнено равенство .

Определение 5.2. Пусть функция задана на промежутке . Функция называется непрерывной в точке слева, если .

Определение 5.3. Пусть функция задана на промежутке . Функция называется непрерывной в точке справа, если .

Пример.

5.5. Показать, что функция

непрерывна справа в точке (рис. 5.3).

Решение.

Вычислим предел этой функции в точке справа: . Так как предел совпадает со значением функции в точке , то функция непрерывна справа в этой точке.

Однако в этой же точке функция не является непрерывной слева, так как .

Рис. 5.3. График функции к примеру 5.5

Замечание 5.4. По аналогии с существованием предела функции в точке, легко убедиться, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в точке слева и справа, то есть

.

Определение 5.4. Говорят, что функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (здесь непрерывность в точках а и b определяется соответственно справа и слева).

Аналогично определяется непрерывность функции на полуинтервалах и .

Пусть функция задана на интервале , , .

Определение 5.5. Разность называется приращением аргумента в точке .

Разность называется приращением функции в точке .

Определение 5.6. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

.

Покажем, что определения 5.1 и 5.5 равносильны (рис. 5.4). Действительно, если , то . Из определения 5.1 получим:

.

Аналогично можно доказать обратное утверждение.

Рис. 5.4. Непрерывность функции в точке