§3.6. Критерий Коши сходимости последовательности

Определение 3.15. Последовательность называется фундаментальной, если

(3.11)

Или эквивалентно:

(3.12)

ТЕОРЕМА 3.17 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Пусть сходится и . Это значит, что . Тогда

то есть по определению последовательность фундаментальна.

Достаточность. Пусть фундаментальна. Это значит, что выполнено условие (3.11). Выберем некоторое число , тогда существует номер . Зафиксируем один из индексов, например . Тогда для будут выполняться неравенства , то есть последовательность ограничена для всех : , где . Оставшаяся часть последовательности ограничена в силу конечности множества . Обозначим . Тогда , где .

По теореме 3.11 из данной ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность : . Это значит, что . Из условия фундаментальности этой же последовательности следует (доказано выше), что: