3.4.3. Принцип Кантора вложенных отрезков

Определение 3.12. Система числовых отрезков , где называется системой вложенных отрезков, если , то есть если выполнено включение .

ТЕОРЕМА 3.14. Если при , то существует единственная точка принадлежащая всем вложенным отрезкам и .

Доказательство. Так как по условию выполнены неравенства и , то последовательности и монотонны. При этом — возрастающая, — убывающая последовательности и и . Поэтому последовательность ограничена сверху, а — снизу. По теоремам 3.7 и 3.8 существуют и .

По теореме 3.7 получим:

.

Таким образом — единственная точка в силу теоремы 3.1 о единственности предела.

§3.5. Подпоследовательности

3.5.1. Частичные пределы

Определение 3.14. Если дана последовательность и из некоторых ее членов , взятых в порядке возрастания номеров ( , для ), составлена новая последовательность , то она называется подпоследовательностью последовательности .

Например, для последовательности последовательность является ее подпоследовательностью, а последовательность не является подпоследовательностью .

В подпоследовательности число является номером члена этой последовательности, а — его номером в исходной последовательности.

Определение 3.15. Пределы сходящихся подпоследовательностей некоторой последовательности называются ее частичными пределами.

Например, из расходящейся последовательности можно выделить подпоследовательность , которая сходится к .

Последовательность расходится, но содержит две сходящиеся подпоследовательности и .

ТЕОРЕМА 3.15. Если последовательность сходится и , то и любая её подпоследовательность сходится и .

Обратно. Если любая подпоследовательность последовательности сходится, то все частичные пределы совпадают и равны пределу последовательности : .

Доказательство. Если , то вне любой окрестности точки имеется разве лишь конечное число членов последовательности , а значит и конечное число членов любой её подпоследовательности . Это и означает, что .

Для доказательства обратного утверждения заметим, что сама последовательность, являясь своей подпоследовательностью, сходится по условию. Пусть . Тогда по доказанному выше для любой подпоследовательности .

Замечание 3.8. Из сходимости некоторой подпоследовательности не следует сходимость всей последовательности .

3.5.2. Принцип компактности

Ранее было доказано, что всякая сходящаяся последовательность ограничена, обратное утверждение не верно. Однако следующая теорема дает возможность из ограниченной последовательности выделить сходящуюся подпоследовательность.

ТЕОРЕМА 3.16 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит в себе сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как по условию последовательность ограничена, то существует отрезок такой, что все элементы содержатся в этом отрезке: .

Разделим пополам: . Так как в последовательности бесконечно много элементов (которые отличаются друг от друга, по крайней мере, порядковым номером), то одна из половинок содержит бесконечное множество элементов последовательности . Эту половину обозначим и отметим в ней из некоторый элемент . Далее разделим пополам и выберем ту половину, которая содержит бесконечно много элементов . Обозначим её и отметим в ней элемент с номером .

Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков . Причем при и при .

По построению — подпоследовательность последовательности . Покажем, что эта подпоследовательность сходится. По принципу Кантора вложенных отрезков существует единственная точка такая, что

.

Таким образом, по теореме 3.6 доказано, что , то есть подпоследовательность сходится.

Замечание 3.9. Теорему 3.16 часто называют принципом компактности.

Следствие 3.3. Всякое бесконечное ограниченное числовое множество содержит в себе сходящуюся последовательность, все члены которой различны.

Доказательство. Возьмём произвольное число . Множество бесконечно, поэтому можем выбрать . Продолжая этот процесс неограниченно, мы выделим из ограниченную последовательность (так как — ограничено) , все члены которой различны по построению.

Применяя теорему Больцано-Вейерштрасса, из последовательности выделим искомую сходящуюся подпоследовательность .

Следствие 3.4. Из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, которая имеет своим пределом бесконечность определённого знака.

Доказательство. Пусть последовательность не ограничена сверху. Тогда существует номер такой, что . Очевидно, что последовательность также не ограничена сверху (из исходной последовательности она получена отбрасыванием конечного числа первых членов). Поэтому существует номер такой, что .

Продолжая процесс таким же образом, получим последовательность таких номеров , что . Отсюда следует, что — подпоследовательность последовательности и по построению.

Аналогично доказывается для неограниченной снизу и неограниченной последовательностей.