§3.4. Монотонные последовательности

3.4.1. Сходимость монотонной последовательности

Определение 3.11. Последовательность называется возрастающей (строго возрастающей), если выполняется неравенство ( ).

Определение 3.12. Последовательность называется убывающей (строго убывающей), если выполняется неравенство ( ).

Определение 3.13. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Например, последовательность строго возрастает, последовательность строго убывает, а последовательность не является монотонной

ТЕОРЕМА 3.12 (о пределе возрастающей последовательности). Всякая возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Доказать самостоятельно.

Замечание 3.6. Можно доказать что всякая возрастающая неограниченная сверху последовательность стремится к .

Действительно, так как не ограничена сверху, то . Тогда в силу возрастания: , то есть .

ТЕОРЕМА 3.13 (о пределе убывающей последовательности). Всякая убывающая ограниченная снизу последовательность имеет предел.

Доказать самостоятельно.

3.4.2. Число е как предел последовательности

В высшей математике большое значение имеет число (экспонента). Его определяют как предел при последовательности , . Покажем, что эта последовательность сходится, для этого докажем, что она строго возрастает и ограничена.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

,

где

.

Полагая , , получим

.

Аналогично запишем — -й член последовательности:

.

Очевидно, что все слагаемые в и в положительны, их количество соответственно равно и . Так как

,

то для всех слагаемых в и выполняется неравенство

.

Кроме того, в присутствует последнее слагаемое , аналога которого нет в . Таким образом, , то есть последовательность строго возрастает.

Установим ограниченность последовательности. Очевидно, что для любого числа выполнено неравенство , и что

при .

Получим оценку для го члена последовательности :

.

Здесь воспользовались формулой суммы первых членов геометрической прогрессии:

.

Таким образом,

.

(3.10)

По теореме 3.12 о пределе возрастающей, ограниченной сверху последовательности получаем, что сходится. Её предел обозначают:

.

Переходя к пределу при в (3.10), получим: .

Известно, что е — иррациональное число и, более того, трансцендентное (не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами). Число е, рассчитанное до 14-ого знака, есть .

В математике широкое применение нашли логарифмы с основанием е. Их называют натуральными логарифмами и обозначают .

Замечание 3.7. Вычисление предела последовательности относится к раскрытию неопределенности вида , так как .

Примеры.

3.25. Вычислить предел .

Решение. Имеем . Выполнив соответствующие преобразования, получаем

.

3.26. Вычислить предел .

Решение. Находим

.