3.1.2. Единственность предела последовательности

Замечание 3.2. Если существует и число фиксировано, то существует номер такой, что для всех выполнено неравенство .

Действительно, если обозначить то, по определению предела, существует такой номер , что выполнено . Тогда в качестве номера возьмем .

ТЕОРЕМА 3.1. (о единственности предела последовательности). Сходящаяся последовательность не может иметь двух различных пределов. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство. Докажем методом от противного. Пусть последовательность сходится и имеет два различных предела и , . Тогда, по определению предела, существует номер такой, что выполнено неравенство:

.

(3.1)

и существует номер такой, что выполнено неравенство

.

(3.2)

Возьмем . Тогда неравенства (3.1) и (3.2) выполняются одновременно для любого номера . Оценим разность :

.

Значит, , что невозможно, например при . Отсюда вытекает, что наше предположение неверно, то есть .

§3.2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Операции над последовательностями

3.2.1. Бесконечно малые последовательности

Над последовательностями можно производить арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Определение 3.5. Пусть заданы две последовательности и . Суммой, разностью и произведением этих последовательностей называются соответственно последовательности вида , , . Если , то частным от деления последовательности на последовательность называется последовательность . Произведением последовательности на число называется последовательность .

Замечание 3.3. Если в последовательности лишь конечное число первых членов равно нулю, то есть, существует , такое что при выполняется условие , то можно рассматривать последовательность , понимая под ней последовательность с номерами .

Определение 3.6. Последовательность называется бесконечно малой, если , то есть, существует такое число , что при всех выполнено условие .

Примеры.

3.10. Последовательность — бесконечно малая, так как .

3.11. — бесконечно малая последовательность, так как .

3.12. — бесконечно малая последовательность, так как .

3.2.2. Свойства бесконечно малых последовательностей

Свойство I. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и — бесконечно малые последовательности. Покажем, что — бесконечно малая последовательность. По предположению . Тогда, по определению предела, существует число такое, что выполнено неравенство

.

(3.3)

и существует число такое, что выполнено

.

(3.4)

Возьмем, . Тогда неравенства (3.3) и (3.4) выполнены одновременно и

.

Следовательно, .

Аналогично, для разности получаем

.

Следовательно, .

Свойство II. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть — бесконечно малая последовательность, то есть и — ограниченная, то есть, существует такое число , что выполнено неравенство .

По определению предела, существует число такое, что выполнено неравенство . Для всех имеем: . Это означает, что .

Следствие 3.1. Последовательность , где  — бесконечно малые последовательности, — ограниченные, является бесконечно малой последовательностью.

ТЕОРЕМА 3.2. Для того чтобы число a было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы ее общий член имел вид , где — бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Докажем, что ее общий член имеет вид , где — бесконечно малая последовательность. Определим последовательность . Тогда из условия следует, что существует число такое, что выполнено . Значит, . Это равносильно тому, что , то есть, последовательность — бесконечно малая и .

Достаточность. Пусть , где — бесконечно малая последовательность. Докажем, что .

Так как, , то . Поскольку , то существует число такое, что выполнено . Отсюда следует, что .