Глава 3 Предел числовой последовательности
§3.1. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности
3.1.1. Определение предела числовой последовательности
Определение
3.1. Если
каждому натуральному числу
по
некоторому закону (правилу) поставлено
в соответствие некоторое единственное
действительное число
,
то совокупность элементов
,
называется числовой
последовательностью.
Числа
называются членами последовательности.
Таким образом, последовательность
является функцией, определенной на
множестве натуральных чисел
,
где
.
Элемент
называется общим
членом последовательности,
— его номер.
Последовательность
считается заданной, если известен способ
получения любого члена последовательности.
Числовую последовательность с членами
обозначают
,
.
Геометрически числовую последовательность можно изобразить точками на числовой оси.
Примеры.
3.1.
Пусть
.
Членами этой последовательности являются
числа:
,
которые образуют геометрическую
прогрессию.
3.2.
Последовательности
соответствуют числа
Определение
3.2.
Последовательность
называется ограниченной
сверху,
если существует такое число
,
что выполняется неравенство
и ограниченной
снизу,
если существует такое число
,
что выполняется неравенство
.
Ограниченная сверху и снизу последовательность называется ограниченной. Это определение эквивалентно следующему определению.
Определение
3.3. Последовательность
называется ограниченной, если
существует число
,
такая что
.
Геометрически
это определение означает, что существует
отрезок
такой, что все элементы
для любого
.
Примеры.
3.3.
Последовательность
ограничена снизу числом 1.
3.4.
Последовательность
ограничена, так как
.
3.5.
Последовательность
ограничена снизу числом
,
сверху числом 1, то есть
.
Следовательно, последовательность
ограничена.
3.6.
Последовательность
ограничена, так как, например, при
выполняется неравенство
для всех
.
Определение
3.4. Число
называется пределом
последовательности
,
,
если для любого
существует такой номер
,
что при всех
выполняется неравенство
.
Обозначают:
.
Раскрывая модуль в неравенстве , получим двойное неравенство:
.
Тогда
на геометрическом языке определение
предела означает, что, начиная с некоторого
номера
,
то есть, при
, элементы последовательности находятся
в интервале
(рис. 3.1). Напомним, что интервал
называют
-окрестностью
числа
.
Рис. 3.1. -окрестность числа
Вне
любой
-окрестности
точки
содержится разве лишь конечное число
членов
последовательности
и это число зависит от
.
Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится, в противном случае — расходится.
Замечание 3.1. Из определения предела последовательности вытекает, что значения конечного числа первых членов последовательности не влияют ни на ее сходимость, ни на значение предела.
Примеры.
3.7.
Дана последовательность
Показать, что
.
Решение.
Здесь
.
Возьмем
любое число
.
По определению 3.4, нам нужно найти число
такое, чтобы для всех
было выполнено неравенство
.
Решим это неравенство, находим
.
Тогда,
в качестве
можно взять число
.
Действительно, если
,
то
,
значит
.
Таким образом, получаем, что
.
3.8.
Показать, что последовательность
,
сходится
и
.
Решение.
Действительно,
и всех
выполняется неравенство
.
3.9.
Рассмотрим последовательность
,
то есть,
.
Показать, что она расходится.
Решение.
Убедимся, что ни одно из чисел
не может быть ее пределом.
Если
,
то из неравенства
следует, что для любого
нельзя найти число
такое, что для всех
выполнено
.
Это неравенство не выполняется, например,
для
,
так как получим неверное неравенство
.
Следовательно, если
,
то
.
Возьмем
.
Пусть
и
(это предположение возможно, так как
— любое число).
Из рисунка 3.2 видно, что за пределами заштрихованной -окрестности числа имеется бесконечное число членов последовательности с нечетными номерами, то есть, не является пределом этой последовательности.
Рис. 3.2. График к примеру 3.9
Аналогичными
рассуждениями получаем, что
также не является пределом рассматриваемой
последовательности.