Тема 1.3 Основные понятия теории погрешностей

Лекция №3 Классификация погрешностей. Правила округления результатов измерений

Погрешностью называется отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины.

Истинное значение величины неизвестно, его применяют только в теоретических исследованиях. На практике используют действительное значение величины Х_д в результате чего погрешность измерения ΔХ_изм определяют по формуле:

ΔХ_изм = Х_изм - Х_д

где Х_изм - измеренное значение величины.

Классификация погрешностей⁸

Систематическая погрешность	Составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.
Инструментальная погрешность	Составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений
Погрешность метода измерений	Составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.
Погрешность (измерения) из-за изменений условий измерения	Составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений, от установленного значения.
Субъективная погрешность измерения	Составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора.
Неисключенная систематическая погрешность	Составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости.
Случайная погрешность измерения	Составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины.
Абсолютная погрешность измерения	Погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.
Относительная погрешность измерения	Погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.

Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:

δ = ΔХ/Х или δ = (ΔХ/Х)*100%

где:

ΔХ - абсолютная погрешность измерений;

Х - действительное или измеренное значение величины.

Cреднее квадратическое отклонение⁹ результатов единичных измерений в ряду измерений представляет собой оценку S¹⁰ рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения, вычисляемая по формуле:

где - результат -го единичного измерения;

- среднее арифметическое значение измеряемой величины из единичных результатов.

Оценка случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений, вычисляемая по формуле

,

где - среднее квадратическое отклонение и результатов единичных измерений, полученная из ряда равноточных измерений; - число единичных измерений в ряду.

К числовым характеристикам случайных погрешностей, как любых случайных величин относятся:

1. математическое ожидание т.е. Сумма произведений всех возможных значений случайных погрешностей на вероятность этих значений: M = ∑X_iP_i

2. дисперсия (математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной погрешности) D = ∑(X_i-M)²P_i

3. среднее квадратическое отклонение, как положительный корень квадратный из дисперсии: σ = √D

Лекция №4 Грубые погрешности измерений (промахи)

Промах - погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

Основной вид промахов — ошибки наблюдателя во время измерения. Однократные измерения не позволяют обнаружить грубую погрешность, поэтому наиболее ответственные измерения производят несколько раз. Среднее арифметическое полученных значений принимают за результат. Отбрасывание промахов в этом случае производят согласно статистических критериев, при этом необходимо знать какому виду (закону) распределения плотности вероятности случайной величины принадлежит результат.

Рассмотрим некоторые из этих критериев.

Критерий Романовского

Используется, когда число наблюдений меньше 20.

Алгоритм:

- результаты измерений располагаются в ряд, подозрительный результат на последнее место;

- находится среднее арифметическое значение результатов измерений;

- находится среднее квадратическое отклонение отдельных результатов от среднего арифметического;

- вычисляется значение критерия Романовского для проверяемого результата;

- находится табличное значение критерия для числа измерений и требуемого уровня значимости (уровень значимости определяется как q = 1-p где p — вероятность правильности результата);

- сравнивается вычисленное и табличное значения критерия и делается вывод (если вычисленное значение больше табличного — промах).

Значения критерия Романовского

q	n =4	n= 6	n = 8	n = 10	n =12	n = 15	n = 20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

Критерий Шарлье

Используется, когда число наблюдений больше 20.

Алгоритм:

- результаты измерений располагаются в ряд, подозрительный результат на последнее место;

- находится среднее арифметическое значение результатов измерений;

- находится среднее квадратическое отклонение отдельных результатов от среднего арифметического;

- находится табличное значение критерия Шарлье для данного количества наблюдений;

- если модуль разности проверяемого результата и среднего арифметического значения результатов измерений больше произведения критерия Шарлье и среднего квадратического отклонения то результат является промахом.

Значения критерия Шарлье

n	5	10	20	30	40	50	100
Кш	1,3	1,65	1,96	2,13	2,24	2,32	2,58

Вариационный критерий Диксона

Используется, когда число наблюдений больше 4.

Алгоритм:

- Результаты наблюдений записываются в вариационный возрастающий ряд.

- Вычисляется критерий Диксона: К_д=(X_n-X_n-1)/(X_n-X₁)

- Сравнивается К_д вычисленный с Zq табличным для данного уровня значимости

(если вычисленный больше табличного, то результат — промах).

Значения критерия Диксона

	Zq при q, равном
	0,10	0,05	0,02	0,01
4	0,68	0,76	0,85	0,89
6	0,48	0,56	0,64	0,70
8	0,40	0,47	0,54	0,59
10	0,35	0,41	0,48	0,53
14	0,29	0,35	0,41	0,45
16	0,28	0,33	0,39	0,43
18	0,26	0,31	0,37	0,41
20	0,26	0,30	0,36	0,39
30	0,22	0,26	0,31	0,34

Критерий 3σ (3-х сигм)

Используется если погрешность распределена по нормальному закону т.е. на результат измерений действует множество факторов, но ни один из них не является определяющим.

Алгоритм:

- Результаты измерений располагаются в ряд, подозрительный результат на последнее место.

- Находится среднее арифметическое значение результатов измерений.

- Находится среднее квадратическое отклонение отдельных результатов от среднего арифметического.

- Найти модуль разности между подозрительным результатом и средним арифметическим значением результатов без него.

- Если полученная величина превышает утроенное значение среднего квадратического отклонения то делается вывод о наличии промаха.

Недостатком данного критерия является то, что для его применения необходимо большое количество наблюдений.

Практическое занятие №1

Методы обнаружения и уменьшения систематических погрешностей измерений

Задача №1

Привести доказательство действенности метода компенсации погрешности по знаку.

Решение

Предположим, что:

x₁, x₂ — результат двух измерений;

Δ — систематическая погрешность;

x_д — значение измеряемой величины без погрешности.

Тогда:

x₁ = xд+Δ, x₂ = x_д -Δ

x_ср = (x₁+x₂ )/2=(x_д +Δ+x_д -Δ)/2= x_д

x_ср = x_д ч.т.д.

Задача №2

Доказать действенность метода замещения..

Решение

Рассмотрим пример применения метода симметричных наблюдений при взвешивании по способу Борда, при постоянно изменяющейся равноплечести весов.

1. Взвешиваем массу Х уравновешиванием массы Z.

X = (l₂/l₁ +X₁)Z (в момент t₁ погрешность Х₁)

2. Уравновешиваем вместо Х массой гирь m₁

m₁ = (l₂/l₁ +X₂)Z

3. Делаем ещё одно измерение, но уравновешиваем массой m₂

m₂ = (l₂/l₁ +X₃)Z

4. Ещё раз взвешиваем массу Х (для уравновешивания нужно добавить m)

Х ∓ m = (l₂/l₁ +X₄)Z

5. Находим среднее из результатов 1, 4

Х ∓ m/2 = (l₂/l₁ +(X₁+X₄)/2)Z

6. Находим среднее из результатов 2, 3

(m₁ + m₂)/2 = (l₂/l₁ +(X₂+X₃)/2)Z

7. Правые части уравнений 5 и 6 равны по определению, отсюда:

Х ∓ m/2 = (m₁ + m₂)/2 тогда: X = (m₁ + m₂ ∓ m)/2

8. Вывод: мы избавились не только от прогрессивной погрешности, но и погрешности от неравноплечести весов l₁/l₂ ≠ 1 ч.т.д.

Задача №3

Доказать действенность метода противопоставления.

Решение

Рассмотрим пример взвешивания массы Х, уравновешиванием массой m на равноплечих весах.

1. x*l₁=m₁ * l₂ отсюда: x = (l₂ / l₁)*m₁

2. Заменим Х на m₂, а m₁ на Х тогда: m₂= (l₂ / l₁)*X

3. Делим 1 на 2. X/ m₂ = m₁/X отсюда: X = √m₁ m₂ погрешности неравноплечести нет. ч.т.д.

Задача №4

Вероятность случайной погрешности измерения равна 0,45. Погрешность равна 3. Определить числовые характеристики случайной погрешности: М, D, σ.

Решение

1. Строим ряд распределения случайной погрешности, обозначив её «Х»

Х	3	0
Р	0,45	0,55

2. Определяем числовые характеристики

М = 3*0,45 + 0*0,55 = 1,35

D = (3-1,35)²*0,45 + (0-1,35)²*0,55 = 2,23

σ = √D = √2,23 = 1,49

Практическое занятие №2

Методы уменьшения инструментальных погрешностей. Внесение поправок в результат измерений

Задача №1

Произведены три независимых замера. Вероятность неприемлемой погрешности измерений 0,4. Случайная величина — число правильных измерений. Определить её характеристики.

Решение

1. Число правильных измерений может быть 0, 1, 2,3,4. Для построения ряда распределения этой величины находим вероятность, для чего используем теорему о повторении опытов:

P₁ = (1-0,4)³ = 0,216

P₂ = 3*0,4*0,6² = 0,432

P₃ = 3*0,4²*0,6 = 0,288

P₄ = 0,4³ =0,064

2. Строим ряд распределения

Х	0	1	2	3
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

3. Определяем числовые характеристики

М = 0*0,216 + 1*0,432 + 2*0,288 + 3*0,064 = 1,2

D = (0-1,2)²*0,216 + (1-1,2)²*0,432 + (2-1,2)²*0,288 + (3-1,2)²*0,064 = 0,72

σ = √D = √0,72= 0,848

Задача №2

Ошибка измерения Х распределена по нормальному закону. При измерении допускаются систематические ошибки в сторону завышения на 1,2. σ = 0,8. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдёт по абсолютной величине 1,6.

Решение

1. Из условия определяем параметры нормального закона распределения

m = 1,2 ; σ = 0,8; α = -1,6; β = 1,6

2. Вероятность попадания случайной величины на участок от α до β определяется по формуле:

P(α <x< β) = Ф((β-m)/σ) - Ф((α -m)/σ) где Ф — функция Лапласа

Отсюда:

P(-1,6 <x< 1,6) = Ф((1,6-1,2)/0,8) — Ф((-1,6 -1,2)/0,8) = Ф(0,5) — Ф(-3,5)

3. Значения функции распределения Лапласа находим воспользовавшись электронной таблицей MS Excel функция - «НОРМРАСПР» или LibreOffice Calc - функция «NORMSDIST»

Ф(0,5) = 0, 6915

Ф(-3,5) = 0, 00023

4. Находим вероятность

P(-1,6 <x< 1,6) = 0, 6915 - 0, 00023 = 0,691

Задача №3

Поправочный множитель 0.96, результат измерений 85. Определить результат с учетом поправки.

Решение

85 * 0.96 = 85(1 — 0.04) = 85 — 3.4 = 81.6

Задача №4

Поправочный множитель 1.02, результат измерений 85. Определить результат с учетом поправки.

Решение

1) 85 * 0.02 = 1.7

2) 85+1.70 = 86.7

Практическое занятие №3

Методы исключения грубых погрешностей измерений

Задача №1

Было произведено 5 замеров одного и того же параметра при одних и тех же условиях. Получены результаты:

500, 502, 504, 506, 520. Последний результат вызывает сомнение. Проверить по критерию Романовского не является ли он промахом. Заданный уровень значимости 0, 01.

Решение

1. Находим среднее арифметическое значение без последнего результата:

X_ср = (500+502+504+506)/4 = 503

2. Находим среднее квадратическое отклонение:

σ = √([(500-503)²+(502-503)²+(504-503)²+(506-503)²]/3 )= 2,6

3. Находим табличное значение β при n = 20 и уровне значимости 0,01

β = 1,73

4. Вычисляем β для последнего измерения:

β = ⃒(503-520) ⃒/2,6 = 6,53

5. Вычисленный результат больше табличного, что говорит о необходимости отбрасывания последнего значения. Это промах.

Задача №2

По условиям первой задачи проверить наличие грубых погрешностей, используя критерий 3σ.

Решение

1. Находим среднее арифметическое значение без последнего результата:

X_ср = (500+502+504+506)/4 = 503

2. Находим среднее квадратическое отклонение:

σ = √([(500-503)²+(502-503)²+(504-503)²+(506-503)²]/3 )= 2,6

3. ⃒(503-520) ⃒ = 17

4. 3σ = 2,6*3 = 7,8

5. 17>7,8 т.е. Последнее значение является промахом.

Дополнительно: по условию задачи, определить пограничное значение параметра.

Задача №3

Произведено 10 измерений. Данные: 120, 115,123, 117,118,118,118,118,118, 119. Проверить не является ли промахом результат 3-го замера, используя вариационный критерий Диксона.

Решение

1. Составим вариационный ряд:

115, 117, 118,118,118,118,118,119, 120,123

2. Вычисляем критерий Диксона для крайнего члена ряда:

К_д = (123 — 120)/(123-115) = 0,375

3. Согласно таблицы значений критерия Диксона, проверяемый результат, является промахом при уровне значимости 0,1.

Практическое занятие №4

Классы точности измерительного прибора

Класс точности — обобщённая характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемой погрешности.

Класс точности назначается после испытаний прибора, в виде нормирования абсолютной, приведенной или относительной погрешности

Приведенной называется относительная погрешность в процентах от некоторого нормирующего значения.

Абсолютная погрешность устанавливается по формуле:

Δ = ± a

если погрешность не зависит от измеряемой величины и по формуле:

Δ = ± (a+bx) где а, b — постоянные числа,

если зависит.

Приведенная погрешность устанавливается по формуле:

γ = (Δ*100)/x_норм= ±p%

Относительная погрешность устанавливается по формуле:

δ = (Δ*100)/x = ±q%

или

δ = ± [c+d((x_k/x) -1)]% (*)

если погрешность зависит от измеряемой величины c,d — положительные числа. Выбираемые из стандартного ряда, x — показания прибора.

Значения допускаемых приведенных и относительных погрешностей выбираются из ряда чисел, применяемых для обозначения класса точности:

1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5 и 6*10ⁿ где n = 1; 0; -1; -2 и т. д.

Класс точности прибора наносится на шкалу прибора и(или) указывается в документации

в виде числа. Число обозначения класса точности в виде относительной погрешности обводят кружком. Если погрешность нормирована в процентах от длины шкалы, под числом ставят обозначение ⋁. При нормировании погрешности по формуле (*) с/d ( например 0,02/0,01).

Задача №1

На шкале прибора с пределами измерений 0...100 нанесено обозначение класса точности 1,5. Определить нормированное значение и приведенную погрешность.

Решение

1. Нормированное значение равно размаху шкалы прибора т.е. Х_н = 100

2. Приведенная погрешность Δ = (Х_н/100)*1,5 = 1,5

Задача №2

На шкале прибора с пределами измерений 0...10 нанесено обозначение класса точности 1,5 в кружке. Прибор показывал 5. Определить погрешность замера.

Решение

Δ = (5*1,5)/100 = 0,075

Задача №3

На шкале прибора с пределами измерений 0...100 нанесено обозначение класса точности 0,02/0,01. Прибор показывает 60. Определить относительную погрешность замера.

Решение

δ = ± [0,02+0,01(100/60 — 1)]% = ± [0,0002+0,0001(100/60 — 1)] = ± 2,66*10^-4

Задача №4

Определить класс точности прибора имеющего диапазон измерений 200, а Δ = ± 1.

Решение

γ = 1/200 = ±5*10^-3 = 0,5%

показатель точности выбирается из ряда:

p = ± (1*10ⁿ; 1,5* 10ⁿ ; 2* 10ⁿ; 2,5* 10ⁿ; 4* 10ⁿ; 5* 10ⁿ; 6* 10ⁿ...)

p = 0,5