6.2.2. Числовые характеристики

Для анализа СВ используют также числовые характеристики СВ.

1.Начальные моменты св.

Для непрерывной СВ Х начальным моментом S – го порядка

∞

α _S (X) = ∫Х^S f(x)dx;

- ∞

для дискретной СВ Х

n

α _S (X) = ∑ х_i^S p_i .

1

1.1.Начальный момент первого порядка является средним значением СВ или её математическим ожиданием

∞

α₁ (X) = М(Х) = ∫ х f(x)dx – для непрерывной СВ;

• ∞

n

α ₁ (X) = ∑ х_i p_i . для дискретной СВ;

1

n

Хср = m₁(Х) = 1/n ∑ х_i . средне арифметическое значение СВ (оценка МО);

1

1.2.Начальный момент 2-го порядка является средним значением квадрата СВ.

∞

α₂ (X) = М(Х²) = ∫ х² f(x)dx – для непрерывной СВ;

• ∞

n

α ₂ (X) = ∑ х_i² p_i . для дискретной СВ;

1

n

m²₂ (X) = 1/n ∑ х²_i . средне значение квадрата СВ

1

n

х_Э = √ m²₂ = √ 1/n ∑ х²_i . эффективное значение СВ

1

Начальный 2-ой момент СВ тока и эффективное значение СВ тока оценивают нагрев проводов, по которым протекает ток. Это определяется формулой потери мощности в проводах ∆Р = I²R, где R – активное сопротивление провода.

По эффективному значению СВ тока определяется числовая характеристика СВ К_Э = I_Э/Iср.

2. Центральные моменты св.

Центральные моменты СВ определяются для центрированной СВ. Центрированной СВ называется отклонение СВ от её математического ожидания

Х = х – m₁(х).

Центральным моментом порядка S СВ Х называется

μ_S (X) = М(Х^S) = М {[(х - m₁(х)]^S}.

∞

μ_S (X) = ∫ [(х - m₁(х)]^S f(x)dx – для непрерывной СВ;

-∞

n

μ_S (X) = ∑ [(х - m₁(х)]^S P_i – для дискретной СВ.

i=1

2.1. Центральный момент 1 – го порядка

μ₁ (X) = М [(х - m₁(х)] = 0.

2.2.Центральный момент 2 – го порядка

μ ₂ (X) = М [(х - m₁(х)]² Рi = α ₂ (X) - m²₂ (X) = D(X)/

Второй центральный момент μ ₂ (X) называется дисперсией СВ. Дисперсия СВ ест МО квадрата соответствующей центрированной СВ и является характеристикой рассеивания , разбросанности СВ около МО D(X) = (X²) – [M(X)]² . Cреднее квадратическое отклонение СВ σ(Х) = √ Д(Х).

Для оценки рассеивания СВ используют числовую характеристику коэффициент вариации К_V = σ(Х) / m₁(Х)

2.3. Центральные моменты 3-его порядка

μ ₃ (X) = М [(х - m₁(х)]³ Рi =

6.3 Законы распределения числа поездов в межподстанционной зоне.

Для моделирования ЭЖД необходимо знать закон числа поездов m в МПЗ. От числа поездов, от вероятности их появления зависят законы изменения токов фидеров, подстанции.

Параметры (факторы) распределения числа поездов в межподстанционной зоне:

• m - число поездов одновременно находящихся в МПЗ;

• n – максимально возможное количество поездов в МПЗ (число условных перегонов);

• N – количество поездов в сутках;

• Nо – пропускная способность участка Nо = 1440/θ;

• Θ – минимальный межпоездной интервал, мин.

• T – время хода по МПЗ.

• N/Nо – интенсивность движения;

Критерием пригодности закона распределения (модели) является степень совпадения теоретического и статистического распределения. Для определения закона распределения числа поездов в МПЗ необходимо определить параметры (факторы), влияющие на частоту появления числа поездов в зоне. Закон распределения числа поездов определяется на основе статистической информации и имеет устойчивый характер.

Число поездов m одновременно находящихся в МПЗ находится между нулём и максимально возможным значением поездов n

0 ≤ m ≤ n .

Частота появления поездов в МПЗ Р^* (m) зависит от следующих факторов:

1.От количества поездов в сутках N, проходящих по МПЗ.

Анализ многоугольника распределения числа поездов в сутках показывает, что с увеличением суточного числа поездов N вероятность появления в зоне числа поездов близких к наибольшему увеличивается, а вероятность появления малого количества поездов уменьшается.

Следовательно, частота появления числа поездов m зависит от суточного количества поездов N. При этом

n

∑ p^* (m) = 1

m=0

2.От максимального количества поездов n, которые могут одновременно находится в МПЗ.

Если длину МПЗ увеличить вдвое, то максимально возможное значение поездов n увеличится то же вдвое. Очевидно, что с увеличением n будет чаще встречаться большое количество поездов в МПЗ и реже меньшее.

Следовательно, вероятность появления числа поездов в МПЗ m зависит от максимального числа поездов одновременно находящихся в зоне n.

3.От пропускной способности No МПЗ.

Пропускная способность No – это максимально возможное число поездов в сутки.

Если число поездов в сутки N = No максимальному числу поездов в сутки и моменты ухода и прихода поездов на участок совпадают, то очевидно, что, что m = n и частота появления

n

∑ p^* (m) = 1

m=0

Если увеличим пропускную способность (переход с полуавтоматической блокировки на автоматическую), то в МПЗ расположится большое число поездов n.

Следовательно, значение пропускной способности No МПЗ влияет на частоту числа поездов в МПЗ Р^* (m).

Статистические исследования реальных графиков движения поездов подтвердили зависимость частоты появления числа поездов в МПЗ m от N, No, n.

Следовательно m = f (N, No, n).

Вывод:

На частоту появления поездов в МПЗ m влияют:

• N – заданное число поездов за расчётный период Т (сутки),

• No – пропускная способность МПЗ за сутки,

• n – максимальное число проездов, которые могут одновременно находится в данной зоне (условное число перегонов)

Пропускная способность участка No оценивается за сутки и определяется минимальным межпоездным интервалом θ и определяется по формуле

No = Т/θ, где Т = 1440 мин.

Максимальное число поездов, которое вмещает межподстанционная зона

n = t / θ, где t – время хода поезда по зоне.

Максимальное число поездов одновременно находящихся в зоне n равно числу ниток графика (или межпоездных интервалов θ), укладывающихся в отрезок времени t.

Для графика движения поездов требуется определить вероятность отправления m поездов за время t или в n нитках графика расположится m поездов.

Число графиков, которое можно составить изменяя положение m поездов n нитках внутри интервала времени t – времени хода поезда по зоне, равно числу сочетаний из n по m С_n^m . Число графиков в свободных нитках С _No–n ^{N –m} Всего может быть построено графиков С_No^N .

Вероятность графика удовлетворяющего условию m поездов в интервале t

C^{N – m} _{No - n}

Р^* (m) = С^m_N

C^N_No

Закон распределения числа поездов соответствует гипергеометрическому распределению, хорошо согласуется со статистическим распределением и может быть использован для расчётов.

Если принять число поездов в сутках за N, а интенсивность движения за отношение N/Nо, то при большой выборке N/Nо стремится к постоянному значению. Можно считать, что вероятность появления поезда на некоторой нитке графика, не зависит от числа занятых ниток. Вероятность занятия определённой нитки графика движения равна N/Nо, а вероятность свободной нитки графика (Nо – N)/Nо.

Тогда вероятность графика удовлетворяющих условию m поездов в интервале t

P(m) = C_n^m (N/Nо)^m [(Nо – N)/Nо]^n-m.

Полученный закон распределения называется биноминальным. Данный закон даёт малое различие от гипергеометрического при условии Nо >> n и

N >>m, то есть при рассмотрении большого промежутка времени.

Законы распределения интервалов между поездами.

…………………………………………………………………………………….

6.4 Законы распределения тяговой нагрузки и их числовые характеристики.

1. Нормальный закон распределения.

При расчётах параметров СТЭ требуется определять средние и максимальные токи подстанций, фидеров КС и эффективные (среднеквадратические) их значения. По известным законам распределения определяются значения требуемых величин.

Для распределения тяговой нагрузки используют нормальный закон распределения ( закон Гаусса).

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности -(х – х_ср ) / 2 σ²

Р(Х) = 1/ σ √ 2π е

г де х – значение СВ, х_ср – среднее значение СВ, σ – среднее квадратическое отклонение СВ.

Р(I) 1

2

Iср I

Рис. Кривая распределения плотности вероятности при различных

среднеквадратичных отклонениях, σ₁ > σ₂ .

К ривая нормального распределения плотности вероятности симметрична относительно Iср. Максимальная ордината вероятности равна 1/ σ√ 2π и соответствует абсциссы I = Iср. По мере удаления в обе стороны от точки Iср плотность вероятности падает и асимптотически приближается к оси абсцисс. Характер кривой определяется величиной σ . С увеличением σ кривая распределения становится более плоской. С изменением Iср кривая смещается в соответствующую сторону не изменяя характера.

При использовании нормального закона необходимо знать среднее значение СВ и её среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения нормального закона

x (x –x_ср )² / 2 σ²

F(X) = (1/ σ√ 2π ) ∫ e dx

-∞

Если ввести замену переменной (х – х_ср )/ σ = z, то получим

(x –x_ср )/σ - z²/2

F(X) = (1/ σ√ 2π ) ∫ e dz .

-∞

При х = х_ср функция F(x) = 0,5 и поэтому

F(X) = 0,5 +Ф ( х – х_ср ) / σ = 0,5 + Ф(у),

у -х²/2

Ф(у) = (1/ √ 2π ) ∫ e dх - интеграл Лапласа.

0

Для определения функции Ф(у) имеются таблицы.

СВ, подчиняющаяся нормальному закону, может изменяться в пределах ±∞. На практике имеют дело со СВ, изменяющимися в конечных границах. Для учёта реальных пределов значений СВ используют усечённый нормальный закон распределения. В этом случае плотность вероятности

(x –a₁ )² / 2 σ₁²

f(x) =( 1/M σ₁√ 2π ) e при х₁ < x < x₂ ;

f (x) = 0 при х < x₁ и х > x_{2 ,}

где М – нормирующий множитель; а₁ и σ₁ - средне значение среднеквадратическое отклонений СВ.

Кривые тока так же могут быть аппроксимированы распределением Пирсона и Гамма – распределением.