1.4. Двойственность в линейном программировании

Теория двойственности изучает связи между исходной (прямой) и двойственной задачами. Результаты этой теории применяются для анализа оптимизационных задач и построения численных методов оптимизации.

Рассмотрим задачу ЛП следующего вида:

39 (39)

при

40 (40)

41 (41)

42x_j  0, j  {1,…,n}. (42)

— это линейная задача максимизации общего вида.

Правила построения двойственной задачи для линейной задачи максимизации общего вида

1. Каждому ограничению прямой задачи сопоставляем двойственную переменную.

2. Каждой переменной прямой задачи сопоставляем двойственное ограничение.

3. В левой части двойственного ограничения стоит скалярное произведение вектора коэффициентов при соответствующей переменной прямой задачи на вектор двойственных переменных. Правая часть ограничения — коэффициент ЦФ прямой задачи при соответствующей переменной.

4. Левую и правую части двойственного ограничения соединяем знаком “” (в моем случае все переменные неотрицательны).

5. Целевая функция двойственной задачи есть скалярное произведение вектора правых частей ограничений прямой задачи на вектор двойственных переменных. Если в прямой задаче ЦФ максимизируется, то в двойственной — минимизируется. □

6. Ограничению (прямой задачи) вида соответствует неотрицательная двойственная переменная, ограничению вида  соответствует двойственная переменная, не ограниченная по знаку. □

Экономическая интерпретация двойственности

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме (обозначим ее Р)

43f(x) = c ∙ x  max при Ax ≤ b⁰, x  0 (43)

Пусть b⁰  0, т. е. каждое ограничение требует, чтобы потребление ресурса i было не больше наличия этого ресурса. Тогда задача совместна (имеет нулевое значение) и ее можно трактовать как поиск оптимального распределения ресурсов между технологическими способами (интенсивности которых x_j мы стремимся определить).

Будем считать, что ЦФ описывает чистый доход, т. е. доход за вычетом всех затрат, кроме стоимости ресурсов, соответствующих ограничениям задачи. Предположим, что из учтенных в задаче ресурсов система не может извлечь сколь угодно большой доход, т. е. задача ограниченна. Тогда она разрешима по замечанию 8.

Пусть х^* — решение задачи (43), которое дает системе чистый доход f(x^*). Если f(x^*) больше затрат на приобретение комплекта ресурсов b⁰, то может возникнуть желание пропорционально увеличить ресурсный потенциал, т. е. приобрести набор ресурсов b⁰(   0). Сколько придется заплатить за эти ресурсы?

Пусть y_i  0 — цена ресурса i. Если система получит дополнительный комплект ресурсов  ∙ (a_1j ,…, a_mj), пропорциональный вектору a ^j (  0), то сможет применить технологический способ j с интенсивностью  и получить добавочный чистый доход c_j. Предположим, что другие экономические агенты обладают таким же набором технологий и, следовательно, могут использовать комплект ресурсов а ^j с неменьшей эффективностью. Конкуренция за ресурсы приведет к тому, что стоимость рассматриваемого комплекта будет не меньше c_j: , или

44 (44)

Естественно было бы минимизировать суммарные затраты на приобретение ресурсов:

45 (45)

Объединив (45) и (44) с условием неотрицательности цен, видим, что полученная задача является двойственной к (6).

Следовательно, двойственная задача определяет оценки ресурсов, индуцированные полезностью, которую можно извлечь из этих ресурсов.

Определение 11. Значение переменной в оптимальном решении двойственной задачи называется оценкой ограничения (соответствующего) прямой задачи или теневой ценой (shadow price) соответствующего ресурса. □

Минимальная стоимость ресурсов равна максимальной полезности, которую можно из них извлечь. Если ресурсы дают эффект и их ограниченность существенна (задача распределения ресурсов между технологическими способами совместна и ограниченна), то можно определить теневые цены ресурсов, “раскладывающие” эффект по ресурсам. Эти цены выявляют заключенную в ресурсах полезность.

Заменим в задаче (43) вектор правых частей b⁰ на произвольный вектор b  R^m. Полученную задачу ЛП обозначим P(b). Понятно, что исходная задача Р — это Р(b⁰). Пусть X ^*(b) и Y ^*(b) — множества оптимальных решений задач Р(b) и Р ^*(b) соответственно (будем считать, что эти задачи разрешимы). Зафиксируем x^*(b)  X ^*(b) и y ^*(b)  Y ^*(b). Положим x^* = x^*(b⁰), y ^* = y ^*(b). Тогда f(x^*) = b⁰ ∙ y^* и f(x^*(b)) = b ∙ y^*(b) (см. [9, теорема 32, с. 179]).

Определение 12. Множество всех векторов b таких, что задача Р(b) разрешима и y^*  Y^*(b), назовем областью постоянства двойственных оценок (ОПДО) задачи Р. □

Если b  ОПДО, то вектор y^* остается вектором двойственных оценок при переходе от задачи Р к задаче Р(b). Тогда

46 (46)

где Это значит, что для b  ОПДО оптимальное значение ЦФ в задаче Р(b) можно найти, не решая ее, а используя результаты решения исходной задачи Р(b⁰).

Замечание 13. Если ЦФ не зависит от переменных исходного базиса (обычно так и происходит (см. с. 16)), то двойственные оценки ограничений находятся в z-строке последней симплекс-таблицы в столбцах исходного базиса. Если в исходный базис входили столбцы искусственных переменных (см. замечание 11), то надо учитывать и эти столбцы.  □

По формуле (46) прирост полезности, вызванный вариацией вектора b⁰, образован вкладами отдельных ресурсов. Оценка указывает отдельное изменение максимального значения ЦФ при малом изменении доступного количества ресурса i, предельную полезность ресурса. Это подтверждает правомерность интерпретации двойственных оценок как цен, соизмеряющих “натуральные” измерители ресурсов с полезностью, которую описывает целевая функция. Чем больше теневая цена ресурса, тем больший прирост полезности может дать дополнительное количество этого ресурса.

Определение 13. Оценкой технологического способа (или столбца) j называют величину (разность между правой и левой частями соответствующего двойственного ограничения в точке у^*). □

Оптимальный план использует только способы с максимальной оценкой (но эта оценка равна нулю). При этом ресурс с ненулевой теневой ценой в оптимальном плане потребляется полностью, а цена недоиспользованного ресурса равна нулю (см. [9, теорема 33, с. 180]).  □