26. Правило «трех сигм».

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность того, что выполняется неравенство .

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством .

Воспользуемся формулой:

Получим:

.

Если выразить отклонение в средних квадратичных отклонениях: , получим:

Если и, следовательно, , получим:

,

т.е. такое отклонение является почти достоверным (правило «трех сигм»).

Другими словами, если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения. В этом и состоит сущность правила «трех сигм».

27. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины. Неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величину, имеющую возможных значений :

.

Исключим из суммы все члены, для которых :

, где .

Заменим на ( любое положительное число): .

В этом неравенстве – это вероятности таких значений , для которых , а вся сумма представляет собой вероятность того, что случайная величина , т.е.:

Отсюда следует неравенство Чебышева:

, которое позволяет оценить вероятность того, что .

Замечание. Если рассмотреть противоположное событие , то вероятность такого события .

Теорема Чебышева. Пусть имеется конечная последовательность независимых случайных величин, с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной :

.

Тогда, каково бы ни было число , вероятность события

стремится к единице при .

28. Понятия многомерной случайной величины.

Многомерной случайной величиной называется величина, которая при проведении опыта принимает в качестве своего значения не число, а целый набор чисел, заранее не известно каких. Эти наборы, которые случайная величина может принять, образуют множество ее возможных значений.

Понятие многомерной случайной величины аналогично таким понятиям, как система случайных величин или многомерный случайный вектор. Каждое элементарное событие может рассматриваться, как результат сложного испытания, состоящего в измерении всех величин и интерпретироваться, как точка – мерного пространства ( ) или, как вектор . Каждая из величин является одномерной случайной величиной и называется составляющей. Если говорят, что – случайный вектор (или – мерная случайная величина), то величины называют его случайными координатами. Аналогично одномерным случайным величинам различают дискретные многомерные случайные величины (их составляющие дискретны) и непрерывные многомерные случайные величины, которые устроены более сложно (их составляющие непрерывны).