Понятие случайной непрерывной величины.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю P{X=α}=0 для любого α.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла:
,
где
– плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла:
.
Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины вычисляется как корень квадратный из дисперсии:
.
Мода
(
)
непрерывной случайной величины
– это такое ее значение, которому
соответствует максимальное значение
ее плотности вероятности.
Медианой
(
)
непрерывной
случайной величины
называется такое ее значение, которое
определяется равенством:
.
Начальные и центральные моменты для непрерывных случайных величин находятся по формулам:
,
.
Плотность распределения.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется производная от ее функции распределения вероятностей:
.
Значит,
можно найти функцию распределения
вероятностей, интегрируя плотность
вероятности в общем случае от
до рассматриваемого значения
,
т.е.
.
Аналитические выражения для функций распределения вероятностей или плотности вероятности носят название законов распределения.
Для любого значения на основании функции распределения можно определит вероятность события .
В
некоторых случаях по заданной вероятности
требуется найти такие значения
,
для которых выполняется равенство
.
Значение
,
для которого это равенство выполняется,
называют квантилью,
отвечающей заданному уровню вероятности.
Мода и медиана непрерывной случайной величины.
Мода ( ) непрерывной случайной величины – это такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности.
Медианой ( ) непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которое определяется равенством:
.
Законы распределения непрерывной случайной величины:
равномерное распределение,
показательное (экспоненциальное) распределение,
нормальное распределение.
Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:
Показательное (экспоненциальное) распределение. Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется такое распределение, которое описывается следующим выражением для плотности вероятности:
,
где
–
постоянная положительная величина.
Функция распределения вероятности в этом случае имеет вид:
Математическое
ожидание:
Дисперсия:
Нормальное распределение. Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:
где
– среднее квадратичное отклонение;
– математическое
ожидание случайной величины.