13. Понятие схемы независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли. Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие (успех), вероятность которого и событие (неудача), вероятность которого .

В условиях схемы Бернулли вероятность того, что при проведении независимых испытаний, в испытаниях наступит событие , если вероятность его наступления в каждом испытании равна (формула Бернулли):

.

Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях заключено между числами и .

14. Теорема Пуассона.

Теорема: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна:

,

где .

15. Локальная теорема Муавра–Лапласа.

Теорема. Пусть – вероятность события , причем . Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие при испытаниях появится точно раз, выражается приближенной формулой Лапласа:

где ; .

16. Интегральная теорема Муавра–Лапласа.

Теорема. Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где , .

17. Понятие случайной величины.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений. Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий , .

Случайные величины делятся на:

• дискретные – могут принимать определенные, фиксированные значения;

• непрерывные - могут принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Случайные величины называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.