36. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

Свойства эмпирической функции распределения:

1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1].

2. – неубывающая функция.

3. Если – наименьшая варианта, то =0 при , если – наибольшая варианта, то =1 при .

37. Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок.

Найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Пусть – статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Пусть по выборке объема n найдена оценка . Повторим опыт, т.е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным получим другую оценку . Повторяя опыт многократно, получим различные числа . Оценку можно рассматривать, как случайную величину, а числа – как ее возможные значения.

Если оценка дает приближенное значение с избытком, т.е. каждое число больше истинного значения то, как следствие, математическое ожидание (среднее значение) случайной величины больше, чем : . Аналогично, если дает оценку с недостатком, то .

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки .

Смещенной называют оценку, не удовлетворяющую условию оценки несмещенности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая, при заданном объеме выборки n, имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

38. Выборочные среднее и дисперсия и их свойства.

Выборочным средним называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения признака выборки объема n различны, то:

.

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:

.

Выборочное среднее, найденное по данным одной выборки, равно определенному числу. При извлечении других выборок того же объема выборочное среднее будет меняться от выборки к выборке.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если все значения признака выборки объема n различны, то:

.

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:

.

Нахождение среднего и дисперсии признака генеральной совокупности по соответствующим известным выборочным параметрам (выборочное среднее является несмещенной состоятельной оценкой генерального среднего): .

39. Надежность и доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение  этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по выборочному среднему . Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр a с надежностью .

Параметры распределения равны ( => ): .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение , где – заданная надежность.

, заменим X на и  на :

, где .

Выразить :

Так как вероятность P задана и равна :

.

Смысл полученного соотношения – с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a, причем точность оценки равна .

t определяется из равенства по таблице функции Лапласа.

Следует отметить два момента: 1) при возрастании объема выборки n число убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается, 2) увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки: .