Преобразования Лапласа

Рассмотрим функцию y(t). Преобразование Лапласа Y(s) для функции y(t) имеет следующее определение:

где:

s — оператор Лапласа

Преобразования Лапласа для некоторых часто используемых функций:

Функция времени	Преобразование Лапласа
Импульс	1
Пульсация
Скачкообразная
Нарастание f(t) = t
sin(wt)
cos(wt)

Системы высшего порядка

Рассмотрим упрощенный печной агрегат в некоторым стабильном состоянии.

Произведем скачкообразное изменение расхода топлива в момент времени t. Температура на выходе не изменяется мгновенно из-за наличия "мертвого" времени.

Через какое-то время она начинает постепенно расти и в конце концов достигает нового значения. Такое постепенное приближение связано с постоянной времени.

Таким образом, данный печной агрегат имеет и постоянную времени, и "мертвое" время.

В целом, большинство реальных процессов демонстрируют сложное протекание, и их невозможно в точности изобразить в виде системы первого порядка. Очень часто скачкообразное изменение входного параметра приводит к кривой отклика, в которой максимальная скорость изменения выходного параметра имеет место не в начале, а позже. Такие процессы известны как системы высшего порядка.

Системы высшего порядка можно представить дифференциальным уравнением высшего порядка, но они слишком сложны для анализа с математической точки зрения.

Некоторые системы высшего порядка можно приблизительно выразить серией систем первого порядка. Например, систему третьего порядка можно выразить последовательно тремя системами первого порядка.

В анализе управления технологическими процессами довольно часто используется приблизительное выражение системы высшего порядка с помощью системы первого порядка с "мертвым" временем. Подобное приближение считается адекватным для большинства систем управления.

Идентификация процесса

На данный момент мы узнали , что для процесса взаимоотношение между входными и выходными переменными можно выразить математически с использованием усиления процесса, постоянной времени и "мертвого" времени.

Для расчета и анализа процессов системы управления нам в первую очередь необходимо определить контролируемые, регулируемые переменные, а также переменные возмущения нагружения.

Затем для каждой контролируемой переменной нам нужно рассчитать усиление процесса, постоянную времени и "мертвое" время в связи с различными регулируемыми переменными и переменными нагрузки.

Расчет этих параметров называется идентификацией процесса.

Основные этапы идентификации процесса:

• убедиться в том, что процесс находится в стабильном состоянии и в режиме разомкнутого контура;

• выполнить малое скачкообразное изменение регулируемой переменной или переменной нагрузки и

• выполнить анализ динамической реакции контролируемой переменной.

Рассмотрим процесс в стабильном состоянии и выполним скачкообразное изменение его входящего параметра в момент t. Теперь проанализируем реакцию на выходе.

Если процесс представляет собой действительную систему первого порядка с "мертвым" временем, его выходной параметр не будет изменяться в течение времени, равного его "мертвому" времени, Lp. Затем он начинает повышаться и постепенно достигает нового значения стабильного состояния.

По кривой реакции процесса трудно четко определить "мертвое" время и постоянную времени.

Давайте выполним приближение фактической кривой реакции в виде системы первого порядка и рассчитаем эквивалентное "мертвое" время и постоянную времени.

1. Вдоль кривой начертим касательную линию, на которой реакция на выходе резко возрастает. Кривая линия пересекает горизонтальную линию от K1 в td на оси времени_.

2. Можно рассчитать, что эквивалентное "мертвое" время составляет ( t_d - t )

3. Эквивалентная постоянная времени определяется как время, необходимое для того, чтобы его выходной параметр достиг 63,2% значения стабильного состояния со времени t_d. Начертим горизонтальную линию в точке 63,2% изменения выходного значения. Если данная линия пересекает реакцию на выходев момент t_c, эквивалентная постоянная времени может быть оценена как равная ( t_c - t_d )

4. Оценку усиления процесса можно выполнить как отношение изменения на выходе к изменению на входе.

Обратите внимание, что усиление процесса не имеет единицы измерения. Для расчета усиления процесса изменение на входе и изменение на выходе должны быть выражены в одних и тех же стандартных единицах измерения, а не в единицах измерения прибора. Таким образом, эти значения нормализуются в отношении диапазонов измерения соответствующих приборов.

Таким образом, любой фактический процесс можно приблизительно выразить системой первого порядка с эквивалентными "мертвым" временем, постоянной времени и усилением.

Пример идентификации процесса

Возьмем пример печного агрегата для расчета эквивалентных "мертвого" времени, постоянной времени и усиления процесса.

В этом примере температура на выходе называется контролируемой переменной, а расход топлива – управляемой переменной. Предположим, что в момент t выполняется скачкообразное изменение на входе путем изменения расхода топлива с 5 на 6 кл/ч.

Допустим, что при этом температура на выходе изменяется с 300 градусов C на 310 градусов C за определенный период времени.

Расчет постоянной "мертвого" времени

Начертим касательную линию вдоль кривой, на ее максимальном уклоне. Допустим, что касательная линия пересекает горизонтальную линию из точки 300 градусов C на 50 секунд позже времени t. Это означает, что данный печной агрегат имеет эквивалентное "мертвое" время 50 секунд.

Расчет постоянной времени

63,2 % от общего изменения температуры на выходе составляют 6,32 градуса C.

0,632 * [ 310 - 300 ] = 6,32 град. C

Проведем горизонтальную линию в точке 306,3 градуса C. Данная линия пересекает реакцию на выходе на 350 секунд после того, как было выполнено изменение.

Это означает, что печной агрегат имеет эквивалентную постоянную времени 300 секунд.

( 350 - 50 ) = 300.

Расчет усиления процесса

Усиление процесса определяется как отношение изменения на выходе к изменению на входе.

В данном примере единицей измерения прибора для входного параметра, который является расходом топлива, является кл/ч, а единица измерения прибора для выходного параметра, который является температурой на выходе – градус C.

Для расчета усиления процесса и других параметров управления необходимо выполнить расчеты в стандартных единицах, а не в единицах соответствующих приборов. Таким образом, значения технологических параметров следует нормализовать относительно диапазонов измерения соответствующих приборов

PV_Nor = ( PV_EU - RangeLo) /( RangeHigh- RangeLo)

Где:

PV_Nor — нормализованное значение PV в диапазоне от 0 до 1,

PV_EU — значение PV в единицах прибора,

RangeHigh — верхний диапазон прибора, а

RangeLo — нижний диапазон прибора.

В случае с печным агрегатом температура на выходе меняется с 300 до 310 градусов C для изменения расхода топлива с 5 до 6 кл/ч.

В данном примере контроллер расхода топлива имеет:

• Диапазон Hi: 50 кл/ч

• Диапазон Lo: 0 кл/ч

а контроллер температуры на выходе имеет:

• Диапазон Hi: 400 градусов C

• Диапазон Lo: 200 градусов C

Входящее значение меняется с 5 на 6 кл/ч. После нормализации этих значений относительно диапазона измерения расхода топлива прибора и расчета разницы, мы имеем:

(6-0)/(50 - 0) = 0,12

(5-0)/(50 - 0) = 0,1

Изменение на входе = 0,12 - 0,1 = 0,02

Выходное значение изменяется с 300 на 310 градусов C. После нормализации этих значений относительно диапазона измерения температуры на выходе прибора и расчета разности, мы имеем:

(310-200)/(400 - 200) = 0,55

(300-200)/(400 - 200) = 0,5

Изменение на выходе = 0,55 - 0,5= 0,05

Расчет усиления процесса выполняется путем получения отношения изменения на выходе к отношению на входе.

В нашем примере усиление процесса становится равным 0,5.

Усиление процесса = 0,05 / 0,01 = 0,5

Таким образом, протекание в динамических условиях процесса печного агрегата в нашем примере можно выразить в виде дифференциального уравнения первого порядка, а именно:

Математически данное уравнение также известно как "обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом".

В системе Лапласа это выражается следующим образом: