2 Обработка результатов прямых многократных измерений на базе теории погрешностей

Согласно заданию на курсовую работу задан массив результатов измерений одной и той же физической величины (таблица 2.1).

Таблица 2.1- Исходные данные (читать построчно):

0,002	0,001	0,001	-0,006	-0,005	-0,017	0,014	-0,027	0,017
0,033	0,004	-0,003	0,013	0,000	0,010	0,010	0,009	0,000
0,013	0,010	0,002	-0,016	-0,006	0,018	0,011	0,014	0,004
0,014	0,014	0,005	-0,014	0,017	0,014	0,011	-0,015	0,004
0,005	0,033	-0,021	-0,003	0,019	0,009	-0,004	0,002	0,021
0,016	-0,012	0,001	0,025	0,012	0,021	0,020	-0,011	0,009
0,010	0,011	0,011	0,039	0,016	-0,006	0,032	-0,110	0,033

В качестве первичной оценки погрешности измерений в серии, включающей систематическую и случайную составляющие, может быть использован размах результатов многократных измерений:

R′ = X_max – X_min = 0,039- ( -0,110)=0,149.

По заданным результатам измерений строим с помощью пакета STATISTICA точечную диаграмму результатов измерений в выбранном масштабе. Результат построения диаграммы показан на рисунке 2.1:

Рисунок 2.1 - Точечная диаграмма

На основе точечной диаграммы заключаем, что в результатах измерений присутствуют прогрессирующие систематические погрешности. Обнаружены результаты с грубой погрешностью (-0,110). Статическую обработку результатов проведем без них (таблица 2.2) и результат построения диаграммы представлен на рисунке 2.2.

Таблица 2.2 – Исправленные результаты измерений (читать построчно):

0,002	0,001	0,001	-0,006	-0,005	-0,017	0,014	-0,027	0,011
0,033	0,004	-0,003	0,013	0,000	0,010	0,010	0,009	0,000
0,013	0,010	0,002	-0,016	-0,006	0,018	0,011	0,014	0,004
0,014	0,014	0,005	-0,014	0,017	0,014	0,011	-0,015	0,004
0,005	0,033	-0,021	-0,003	0,019	0,009	-0,004	0,002	0,021
0,016	-0,012	0,001	0,025	0,012	0,021	0,020	-0,011	0,009
0,010	0,011	0,011	0,039	0,016	-0,006	0,032	0,033

Рисунок 2.2 – Точечная диаграмма

Расчёт отклонений Vi.

Аппроксимируем точечную диаграмму кривой, как показано на рисунке 2.3:

Рисунок 2.3 - Аппроксимация результатов измерений

Уравнение аппроксимирующей прямой имеет следующий вид:

y = -0,0004+0,0002*х

где x – номер точки, y – величина измеренной величины

Проведём статистическую обработку данных. Для этого исключим систематические составляющие в данной диаграмме. Обозначим на рисунке 2 эквидистанты. Из полученной диаграммы исключим грубые погрешности (рисунок 2.4):

R

R’ЭЭ

Рисунок 2.4 – Точечная диаграмма

При «частичном исправлении» результатов наблюдений с использованием точечных диаграмм под X_ср понимают «текущее среднее значение», определяемое по аппроксимирующей линии. В таком случае за отклонение V_i принимают отклонение каждого из наблюдений от аппроксимирующей линии в масштабе точечной диаграммы.

Подсчитаем отклонения по формуле: V_i = X_i -X_ср и представим результаты в таблице 2.3.

Таблица 2.3 – Значения отклонений от аппроксимирующей линии (читать построчно)

0,0022	0,001	0,0008	-0,0064	-0,0056
-0,0178	0,013	-0,0282	0,0156	0,0314
0,0022	-0,005	0,0108	-0,0024	0,0074
0,0072	0,006	0,0032	0,0096	0,0064
-0,0018	-0,02	-0,0102	0,0136	0,0064
0,0092	-0,001	0,0088	0,0086	-0,0006
-0,0198	0,0011	0,0078	0,0046	-0,0216
-0,0028	-0,002	0,0258	-0,0284	-0,0106
0,0112	0,001	-0,00122	-0,0064	0,0124
0,0072	-0,021	-0,0082	0,0156	0,0024
0,0112	0,01	-0,0212	-0,0014	-0,0006
0,0002	0	0,0278	0,0046	-0,0176
0,0202	0,021

Правильность расчётов значений отклонений можно проверить с помощью формулы:

Расчет оценки СКО результатов наблюдений по формуле:

Рассчитаем оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений

Строим гистограмму распределения частот по отклонениям от аппроксимирующей линии (рисунок 2.5):

Рисунок 2.5 – Гистограмма распределения

При проверке гипотезы о нормальном распределения случайной величины Х с помощью критерия - Пирсона составляем следующую таблицу 2.4:

Таблица 2.4

№
1	-0,027	-0,0175	-	-0,0250	0	-1,906	-0,5	-0,4713
2	-0,0175	-0,0081	-0,0250	-0,0156	-1,906	-1,190	-0,4712	-0,3830
3	-0,0081	0,00128	-0,0156	-0,0062	-1,1901	-0,4737	-0,3830	0,1808
4	0,00128	0,01071	-0,0062	0,00319	-0,4737	0,2426	0,1808	0,0948
5	0,01071	0,02014	0,00319	0,01262	0,2426	0,9590	0,0948	0,3289
6	0,02014	0,02957	0,01262	0,02205	0,95908	1,6755	0,3289	0,4525
7	0,02957	0,039	0,02205	-	1,67551	0	0,4525	0,5

Найдем теоретические частоты . Результаты представлены в таблице 2.5:

Таблица 2.5 – Нахождение теоретических частот

0,0287	1,7794
0,0883	5,4746
0,5638	34,9556
-0,086	-5,332
0,2341	14,5142
0,1236	7,6632
0,0475	2,945

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим следующую расчетную таблицу 2.6.

Таблица 2.6 – Вычисление наблюдаемого значения критерия Пирсона

1	2	1,7794	1,9713	3,886024	2,183896
2	6	5,4746	5,9117	34,9482	6,383699
3	12	34,9556	11,4362	130,7867	3,741508
4	15	-5,332	15,086	227,5874	-42,6833
5	19	14,5142	18,7659	352,159	24,26307
6	3	7,6632	2,8764	8,273677	1,079663
7	5	2,945	4,9525	24,52726	8,32844
	62	62			3,296965

В таблице приведено значение статистики χ², равное 3,296965 количество степеней свободы k = 4.

Значение χ² (критическое) берем из таблицы “Критические точки распределения χ^2” для значения степени свободы k = 4 и уровня значимости q = 0,05. X²_критич = 9,5.

χ²_набл.< χ²_{критич.}, т.е. 3,29 < 9,5. Тогда согласно критерию Пирсона имеем нормальное распределение.

Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

Определение критерия ν для статистического отбраковывания экстремальных результатов X_extr и сравнение его с критическим значением ν':

ν = ( |X_extr – X_ср| / σ) > ν',

Или упрощенная процедура отбраковывания экстремальных отклонений при нормальном распределении погрешностей, например по критерию 3σ в форме |V_extr| > 3σ. В данном случае ν = (V_max/σx) > ν'. Проверке подвергнем наиболее подозрительные результаты измерений:

|V_max| < 3 _х: 3 _х = 3· = 0,0393; V_max = 0,0314

Отсюда видно, что результаты с грубыми погрешностями отсутствуют.

Расчет доверительных границ результата измерений Δ и расчет оценки

среднего квадратического отклонения результата измерения.

Оценку среднего квадратического отклонения результата измерения, при ранее рассчитанном значении S определяют из формулы:

Доверительные границы случайной погрешности ε результата измерения рассчитывают из зависимости:

где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности P и числа результатов наблюдений n.

_при P = 0,95:

_{при P = 0,99}

Границы неисключенной систематической погрешности Θ результата измерения вычисляют путем построения композиции всех неисключенных систематических погрешностей. Эти границы (без учета знака) можно вычислить с использованием зависимости:

,

где Θ_i – граница i-й неисключенной систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.

При Р = 0,95; k = 1,1. Получаем:

При Р = 0,99; k = 1,4. Получаем:

Для оценки значимости неисключенных систематических погрешностей по сравнению со случайными вычислим отношение Θ/ = 0,02/0,017 = 1,176.

Так как отношение неисключенной систематической составляющей погрешности к случайной находится между двумя указанными пределами:

0,8 ≤ Θ/S(Ã) ≤ 8,0,

то границу погрешности результата измерения находим путем построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей.

Расчет суммарной погрешности.

Коэффициент K - коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей вычисляют по эмпирической формуле:

При Р = 0,95;

При Р = 0,99;

Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения определяют из зависимости

Расчет доверительных границ.

В нашем случае допускается границы погрешности результата измерения Δ (без учета знака) вычисляем с использованием зависимости

,

_{При Р = 0,95}

_{При Р = 0,99}

где K – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей; S_Σ – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Рисунок 2.6 – Кривые распределения

Руководствуясь формой записи результатов, предложенной в ГОСТ 8.207 для случая симметричной доверительной погрешности, результат запишем в следующей форме:

(A ± 0,022); P=0,95

(A ± 0,025); P=0,99

Записанный результат означает, что с такой вероятностью (P=0,95 или P=0,99) данный интервал накрывает истинное значение измеряемой величины.