14Бесконечно малые и большие последовательности

Альфаn называется бесконечно малой последовательностью если ее предел =0, при n стремящемся к бесконечности.

Свойство бесконечно малых последовательностей:

1. беск малые, являются ограниченными

2. сума конечного числа беск малых последовательностей есть так же бесконечно малая

3. произведение беск малой последовательности на ограниченную есть беск малая последовательность

4. Произведение конечного числа беск малых есть беск малоя последовательность

15Теорема о двух милиционерах

Если для 3-х функций выполняется равенство фи(х) <=f(x)<=пси(х) и при этом в точке х0 функция фи и пси имеют предел 0 то тогда и предел f(x) при x стремящимся к x0 =а

16Непрерывность функции в точке

1. Она определена в некоторой окресности точки х0 и в самой этой точке

2. Существует предел слева и справа в точке х0 и они равны между собой

3. Эти односторонние пределы равны значению в точке х0

Точки в которых выполняются все 3 условия называются точками непрерывности функ-ции если хотя бы 1 из них будет нарушена получим точки разрыва функции

17Непрерывность функции на отрезке

Непрерывная функция на отрезке АB, функция достигает внутри этого отрезка своего найбольшего и найменшего значения.

18Первый замечательный предел

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

19Производная и ее геометрический смысл

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Геометрический смысл- если задан график функций y=f(x) и секущая М0М то косательная к графику в точке М0 это предельное положение секущей при М стремящемся к М0

Это тангенс угла наклона косательной к графику функции y=f(x)

Производная сложной функции

Расмотрим сложную функцию y=y[U(x)]

Если в точке х, существует производной функции U`x=U`(x) а при соответсвующем значении U существует производная Y`u=Y`(u),тогда в точке х, существует производная сложной функции находится по формуле:

Y`x=Y`u*U`x

20"Применение производной к исследованию функций"

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция  f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция  f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x₀ называется критической точкой функции  f(x), если

1) x₀ – внутренняя точка области определения  f(x) ;

2) f'(x₀)=0 или f'(x₀) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x₀– точка экстремума функции  f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак, то x₀ – точка экстремума функции  f(x).

Примеры экстремумов:

Асимптоты графика ф-ции-  прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Экстремум- максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Выпуклость и вогнутость графиков ф-ции

Дифер.y=f(х) называется выпуклым на (а,b),если он расположен ниже своей любой касательной и вогнутый, если он расположен выше любой своей касательной. Теорема:пусть y=f(х) имеет 2-ую производную во всех точках интервала а,b,если во всех точках интерв.<0 ,то график ф-ции выпуклый на а,b,если 2-ая произв.>0 ,то вогнутый.

Теорема:если 2-ая производная меняет знак при переходе через точку ),то х0 –точка перегиба.Точки подозрительные на перегиб или критические т. Второго рода следует искать среди тех точек,м 2-ая производная где =0 либо не существует.