1Матрицы

Таблица чисел расположенных в М строках и N столбцах называется матрицей. Где a[i][j]-элемент расположенный на пересечении i-й строки j-го столбца. Если m=n матрица квадратная.  Для матриц произвольного вида вводится понятие транспонированой матрицы( когда строки и стобцы меняются местами) Две матрицы называются равными если они имеют одинаковый вид и на одинаковых позициях расположены равные элементы, еще рассказывается про треугольные матрицы диагональные единичные, матрица столбец строка

Действия над матрицами

1. Сложение если матрицы равные. Для того что бы сложить 2 матрицы нужно сложить элементы расположенные на одинаковых позициях.

2. Умножение. Что бы умножить матрицу на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это же число.

2Определители и их свойства

Определитель квадратной матрицы А, называется число которое вычисляется по формуле а11М11-а12М12+…+(-1)^1+n а1nМ1n

Свойства определителя

Определитель не изменяется при транспонировании

При перестановки двух строк(столбцов) определитель меняет знак

Определитель с двумя одинаковыми строками(столбцами) =0

Определитель =0, если одна строка(столбец)=0

Если умножить все элементы строки(столбца) на одна и тоже число, то и значение определителя умножается на тоже число

Общий множитель строки(столбца) можно выносить за знак определителя

Если к каждому элементу строки(столбца) прибавлять соответствующий элемент другой строки(столбца) умноженное на какое либо число не равное нулю, то значение определителя не изменяется

Сумма произведений элементов строки(столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих другой строки(столбца)=0

3Ранг матрицы

Рангом матрицы называется порядок базисного минора RgA=r

Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А если выполняется равенство А^-1*А=А*A^-1=Е

4Теорема Кронекера Капели

Для того что бы система линейных алгебраических уравнений была совместно необходимо и достаточно что бы ранг основной матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. RgA=RgA*=r

5Правило Крамера

Домножим первое и второе уравнение на алгебраическое дополнение к элементам первого столбца соответственно и сложим их. Найдем определитель матрицы. Затем найдем определитель матрицы по x y z. Найдем корни по формуле дельтах\дельта, дельтаy\дельта, дельтаz\дельта.

Метод Гаусса

Состоит из двух этапов.

1. Этап- прямой ход, действуя последовательно 1-й строкой на все остальные, затем 2-й на все остальные и т.д. Систему приводим к треугольному виду((все элементы ниже главное диагонали=0)

2. Обратный ход двигаясь от последнего уравнения к первому последовательно находим неизвестные.

6Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида(порядок действий)

1)Найти ранги расширенной и основной матриц системы и установить что система совместна(имеет решение)

2) Переменные х[r+1]…х[n] которым соответствуют нулевые столбцы при подсчёте ранга, перенесем в правые части уравнений системы

3) Предадим переменным в правых частях постоянные значения. Теорема Кронекера Капели

Для того что бы система линейных алгебраических уравнений была совместно необходимо и достаточно что бы ранг основной матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. RgA=RgA*=r