Задание 5

Теория:

Первый закон Кирхгофа состоит в том, что алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

, (1)

где n – число токов, сходящихся в данном узле.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому ни в одной точке проводника не должны накапливаться заряды, т. е. количество зарядов, приходящих в данную точку в единицу времени, равно количеству зарядов, уходящих из данной точки за то же время.

Токи, приходящие к узлу, берутся со знаком плюс, а токи, выходящие из него – со знаком минус. Например, для узла А (рис.23) первый закон Кирхгофа запишется так: I₁ - I₂ + I₃ + I₄ - I₅ = 0

I₂

Рис.23 Рис. 24

Второй закон Кирхгофа гласит, что в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме э.д.с., включённых в данный контур:

(2)

где I_i и R_i – ток и сопротивление соответствующего участка; m – число э.д.с., включённых в данный контур; n – общее число участков, в которых наблюдается падение напряжения.

Второй закон Кирхгофа есть результат закона сохранения и превращения энергии: алгебраическая сумма э.д.с. выражает собой энергию, вводимую в цепь, а алгебраическая сумма падений напряжения – энергию, расходуемую на нагревание проводников.

При составлении уравнения второго закона Кирхгофа для замкнутого контура руководствуются следующими правилами:

а) произвольно выбирается направление обхода контура;

б) показывать направление токов во всех участках;

в) если выбранное направление совпадает с направлением тока I_i в данном участке контура, то падение напряжения на U_i этом участке берётся со знаком плюс (и наоборот);

г) перед _к становится знак плюс, если при обходе контура идём внутри источника от отрицательного полюса к положительному. Например, для контура abcda (рис. 24) имеем (пренебрегая падением напряжения на внутреннем сопротивлении каждого источника):

.

Пример:

Рассмотрим для примера вариант 12.

1. Перечерчиваем схему

2. Обозначаем на схеме сопротивления R₁, R₂, R₃ …. , ЭДС Е₁, Е₂, Е₃ и внутреннее сопротивление r₁, r₂, r₃.

3. В соответствии с таблицей спецификации и полученным рисунком задаём значения сопротивления, ЭДС и внутреннее сопротивление.

Е₁ = Е₂ = Е₃ =1,5В; r₁ = r₂ = r₃ = 0,3 Ом; R₁ = 20 Ом, R₂ = 1,1кОм =1,1 · 10³ Ом, R₃ = R₅ = R₉ = R₁₁ = 1кОм = 1·10³ Ом, R₄ = 1,2 кОм = 1,2·10³ Ом, R₆ = 5,1 Ом, R₇ = 100 Ом, R₈ =63 Ом, R₁₀ = 36 Ом.

4. Определяем направления токов и их обозначаем I₁, I₂, I₃, ……

5. Обозначаем узлы: А, В, С, D, K.

6. Составляем по первому закону Кирхгофа для узлов А, В, С, D, K уравнения. Причём необходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс; ток, отходящий от узла, - со знаком минус.

I₁-I₂-I₃=0

I₂-I₄+I₆=0

I₄-I₅-I₁=0

I₅-I₈-I₇=0

I₇+I₈-I₆=0

7. По первому закону Кирхгофа получили 5 уравнений, а токов необходимо найти 8. Недостающие три уравнения составим из второго закона Кирхгофа (см. правила по составлению второго закона) для обходов (обходы выбираем сами произвольно) ACdfA, DKtnD, ACDKgBjA.

ACdfA: I₃R₂+I₁R₄+I₁R₃+I₁R₁=0

DKtnD: I₇R₈-I₈R₁₁-I₈R₇-I₈r₃=-E₃

ACDKgBjA: I₃R₂+I₇R₈+I₆R₁₀+I₆R₉+I₆R₆+I₅r₂-I₂r₁=E₂-E₁

8. Подставляем во все равенства известные величины R, r, Е и получаем систему из восьми уравнений

I₁-I₂-I₃=0

I₂-I₄+I₆=0

I₄-I₅-I₁=0

I₅-I₈-I₇=0

I₇+I₈-I₆=0

1100I₃+1200I₁+1000I₁+20I₁=0

63I₇-1000I₈-100I₈-0,3I₈= -1,5

1100I₃+63I₇+36I₆+1000I₆+5,1 I₆+0,3I₅-0,3I₂=1,5-1,5=0

Для решения воспользуемся методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнения ещё раз в следующем виде.

I₁-I₂-I₃+0+0+0+0+0=0

0+I₂+0-I₄+0+I₆+0+0=0

-I₁+0+0+ I₄-I₅+0+0+0=0

0+0+0+0+I₅+0-I₇-I₈=0

0+0+0+0+0-I₆+ I₇+I₈ =0

2220I₁+0+ 1100I₃+0+0+0+0+0=0

0+0+0+0+0+0+63I₇-1100,3I₈= -1,5

0-0,3I₂ +1100I₃+0+0,3I₅+1041,1I₆+ 63I₇+ 0=0

Задание:

Перерисовать схему. Указать на схеме все сопротивления R₁, R₂, R₃,…… указать направления токов I₁, I₂, I₃, I₄….. и ЕДС Е₁, Е₂, Е₃…. Используя законы Кирхгофа, рассчитать все значения силы токов. Внутреннее сопротивление источников учитывать.

Варианты расчета

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

Спецификация:

1
2
3
4
5
6
7
8
9