Глава II релятивистская механика
§ 2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы
Основные механические переменные в механике Ньютона - импульс, сила, энергия, мощность, момент импульса - определены в предположении абсолютного времени (t=t′=t′′=…). В релятивистской механике это предположение не верно, здесь инвариантом является только одно время – собственное время τ. Поэтому все динамические переменные в релятивистской механике нуждаются в переопределении и все они должны являться в четырехмерными векторами или тензорами второго ранга.
В
механике Ньютона импульс определяется
как
,
где u – ньютоновская
скорость. Необходимо осуществить переход
от трехмерного к четырехмерному вектору
импульса:
.
(2.1.1)
Четырехмерный вектор импульса должен иметь вид
(2.1.2)
Обозначим
(2.1.3)
где Т имеет размерность энергии. Согласно Ньютону, импульс должен быть пропорционален скорости, значит для четырехмерного вектора импульса:
(2.1.4)
где
должна быть инвариантом, чтобы справа
и слева стояли четырехмерные вектора.
Мы определим
позже, но сразу оговорим, что это величина
будет иметь размерность массы.
Подставив (2.1.3) в формулу (2.1.2) и используя определение четырехмерной скорости, можно записать:
(2.1.5)
Сравнивая формулы (2.1.2) и (2.1.5), находим:
(2.1.6)
Причем, т.к. p=mu, то можно сделать вывод, что
(2.1.7)
Из этой формулы видно, что при β→0 m=m0,т.е. это собственная масса частицы. Эта величина является характеристикой самой частицы. При β→1 m→∞ и эта «масса» может принимать очень большие значения. Ее можно назвать относительной массой.
Из формулы (2.1.6) можно выразить
(2.1.8)
Видно, что при β→0
(2.1.9)
Эта формула для энергии покоя, полученная Эйнштейном. Она означает, что покоящаяся частица обладает энергией, которая, например, может частично выделится в процессе распада.
Рассмотрим
теперь нерелятивистское приближение
(β2<<1). Разложим
по малым β2:
(2.1.10)
Видно, что второе слагаемое есть не что иное, как кинетическая энергия движущейся частицы. Таким образом, физический смысл состоит в том, что это кинетическая энергия частицы вместе с энергией покоя:
.
(2.1.11)
Оказывается, все четыре компоненты
не являются независимыми. Это связано
с тем, что
(2.1.12)
При домножении обеих частей уравнения на , получим
.
(2.1.13)
Или можно переписать это уравнение в другом виде:
(2.1.14)
Последнее
соотношение между P2,
m02
и
может быть записано как:
или
.
(2.1.15)
Учитывая
формулу (2.1.6) получаем, что из инвариантности
следует энергия
в виде:
.
(2.1.16)
Определим теперь четырехмерный вектор силы. Из второго закона Ньютона сила есть
(2.1.17)
В релятивистской механике ему соответствует четырехмерный вектор:
(2.1.18)
В
классической механике сила пропорциональна
ускорению, значит для
формула (2.1.17) выглядит как:
,
(2.1.19)
где
есть уже определенная выше масса покоя
частицы.
Выясним теперь физический смысл нулевой компоненты четырехмерного вектора силы. Из определения видно, что:
.
(2.1.20)
Обозначим
(2.1.21)
Где G имеет размерность мощности. Тогда
(2.1.22)
Попробуем найти аналог F в механике Ньютона:
(2.1.23)
Введя промежуточную производную по , получаем:
(2.1.24)
Перейдя
теперь к нерелятивистскому приближению
,
имеем:
(2.1.25)
Таким
образом, величина
имеет размерность и смысл мощности:
(2.1.26)
К этому соотношению можно подойти с другой стороны, используя ортогональность четырехмерных векторов скорости и ускорения:
.
(2.1.27)
Домножая (2.1.27) на m2, получим:
.
(2.1.28)
То
есть вектора
и
также ортогональны в четырехмерном
пространстве.