§ 1.9. Преобразование Лоренца для антисимметричного тензора

Как мы уже выяснили, любой антисимметричный тензор преобразуется по закону:

(1.9.1)

Вспомним, что

(1.9.2)

Распишем одну из компоненту антисимметричного тензора по правилу. Получим

Следовательно, , т.е. продольная компонента не преобразуется.

Проведя такие же вычисления для остальных компонент антисимметричного тензора, получим

(1.9.3)

Таким же образом получены

(1.9.4)

§ 1.10. Электромагнитные потенциалы и поля

Если в определении произвольного четырехмерного вектора за нулевую компоненту принять скалярный потенциал φ, а за векторную компоненту - трехмерный вектор-потенциал, то мы получим определение четырехмерного вектора-потенциала . С помощью этого вектора можно определить тензор напряженностей электромагнитного поля:

. (1.10.1)

Из самого определения этого тензора следует, что он антисимметричен. Антисимметричные тензоры и их основные свойства были достаточно подробно обсуждены выше.

Сейчас запишем компоненты тензора . Так как тензор антисимметричен, то сразу можно написать, что

(1.10.2)

Здесь E - напряженность электрического поля, а H - напряженность магнитного поля.

Оказывается, что все компоненты тензора можно вывести напрямую из его определения, и в результате получим:

(1.10.3)

(1.10.4)

Мы получили тензор напряженности электромагнитных полей. Иногда в электродинамике используется другой тензор электромагнитного поля, называемый дуальным к основному тензору или дуальным тензором. Дуальный тензор связан с основным следующим соотношением:

(1.10.5)