§ 1.7. Четырехмерные векторы

Четырехмерный вектор – совокупность четырех величин , которые при переходе от одной инерциальной системе координат к другой преобразуется по закону:

(1.7.1)

Запишем преобразования Лоренца для произвольного четырехмерного вектора, когда штрихованная система движется относительно нештрихованной системы вдоль оси ОХ. Для этого произведем следующую замену в уже известных нам формулах и :

(1.7.2)

Подставив новые переменные в преобразования Лоренца, получим:

(1.7.3)

Это и есть искомые преобразования Лоренца.

Все четырехмерные векторы обладают свойством, что их скалярные произведения

(1.7.4)

Все четырехмерные векторы делятся на:

1. Пространственноподобные

2. Временеподобные

3. Светоподобные

В этом можно убедиться из следующих соображений.

Среди всех можно найти такое, которое удовлетворяет следующему условию:

(1.7.5)

Все эти векторы различаются также по величине квадрата в скалярном произведении.

В качестве штрихованной системы мы здесь выбирали систему покоя частицы.

Рассмотрим примеры четырехмерных векторов.

1. Четырехмерный радиус-вектор. Он определяется как

(1.7.6)

и является временеподобным, т. к

(1.7.7)

Здесь мы приняли , т. к. точку можно поместить в начало координат.

2. Четырехмерный вектор скорости частиц. Определяется как

Откуда следует, что скалярное произведение

(1.7.8)

Окончательно получаем, что - временеподобный вектор.

3. Четырехмерный вектор ускорения. Определяется как

Вычислим :

(1.7.9)

Подставим это значение в выражение для ω^μ:

(1.7.10)

Убедиться в пространственноподобности можно, если рассмотреть ω^μ в состоянии покоя :

(1.7.11)

Можно показать, что четырехмерные вектора скорости v^μ и ускорения ω^μ взаимно ортогональны в четырехмерном пространстве: . Покажем это. Продифференцируем скалярное произведение:

(1.7.12)

Откуда получаем, что .

§ 1.8. Четырехмерные тензоры

Все физические величины в специальной теории относительности по характеру преобразований при переходе из одной инерциальной системе отсчета к другой являются тензорами определенного ранга (нулевого, первого, второго,…).

Тензоры нулевого ранга – скалярные величины, которые при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой вообще не преобразуются. Иначе говоря, они являются инвариантами. К таким тензорам нулевого ранга относятся электрический заряд частицы, скорость света, собственное время, все скалярные величины четырехмерных векторов.

Тензоры первого ранга – все четырехмерные векторы.

Тензоры второго ранга определяется аналогично четырехмерным векторам:

(1.8.1)

Запишем тензор T_μν в общем виде:

Тензором ранга назовем совокупность чисел, преобразующихся по закону:

(1.8.2)

Дальше наибольшее применение получат тензоры второго ранга. Оказывается, что тензоры второго ранга могут быть симметричными и антисимметричными.

Оказывается, что любой тензор второго ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Запишем произвольный тензор Т_μν в виде:

(1.8.3)

где .

Особый интерес представляют антисимметричные тензоры. Они обладают свойством, что у них все диагональные элементы равны 0, т.е. .

Таким образом, произвольный антисимметричный тензор имеет вид:

(1.8.4)

Одним замечательным свойством тензоров такого рода является то, что если взять скалярное произведение антисимметричного тензора с двумя одинаковыми векторами, то оно будет равно нулю: . Докажем это:

(1.8.5)

Антисимметричные тензоры, как и все четырехмерные векторы могут быть пространственноподобными:

(1.8.6)

У всех антисимметричных тензоров между пространственноподобными компонентами существует связь: , где - символ Леви-Чевита.

Обратное соотношение имеет вид: .