§ 1.6. Ковариантная форма преобразований Лоренца

Ранее были получены преобразования Лоренца для координат и времени:

(1.6.1)

Эти формулы не являются ковариантными. Здесь выделены отдельные координаты и время, тогда как ковариантные формы подразумевают отсутствие выделенных координат.

Преобразование Лоренца для координат в ковариантной форме имеет вид:

(1.6.2)

- матрица, которая представляет собой коэффициенты преобразования. Эти коэффициенты постоянны.

Нам осталось найти коэффициенты α, µ и ν. Сравним уже известные нам преобразования Лоренца для координат и времени с ковариантной формой.

Положим µ=0:

Сравнивая, получаем:

Аналогично получим для µ=1:

Откуда находим

Таким образом, матрица преобразования Лоренца для случая, когда система движется вдоль оси «неподвижной» системы имеет следующий вид:

(1.6.3)

Если речь идет об обратном преобразовании Лоренца, то вместо матрицы следует использовать обратную матрицу :

(1.6.4)

Очевидно, что , то есть :

(1.6.5)

Иначе, матрица удовлетворяет следующему условию:

(1.6.6)

Нам надо убедиться в правдивости найденных коэффициентов. Для этого должно выполняться :

, ч. т. д. (1.6.7)

В частном случае может случиться, что L=0. Следовательно,

. (1.6.8)

С математической точки зрения это есть уравнение конуса в четырехмерном пространстве, вершина которого лежит в начале координат. Рассмотрим сечение четырехмерного пространства. Вспомним, что и .

Таким образом, получили, что . Так как речь идет о распространении света, такой конус называют световым конусом или гиперконусом (рис. 13). Образующая конуса – есть траектория луча света или его мировая линия в четырехмерном пространстве.

Мы можем нарисовать сечение этого конуса плоскостью.

С

45⁰

X

cT

x=βct

α

ветовой конус делит все четырехмерное пространство так, что все реальные события, которые могут произойти в природе, располагаются внутри этого конуса.

Убедимся в этом. Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Распространение луча света.

С

Рис. 13

оответствует точкам, расположенным по поверхности светового конуса.

2. Рассмотрим движение частицы в четырехмерном пространстве. Если частица движется равномерно и прямолинейно и при проходит через начало координат, то при движении вдоль оси Х в трехмерном пространстве ее мировая линия в четырехмерном пространстве есть следующая величина:

; . (1.6.9)

Домножим и поделим на :

. (1.6.10)

Введем обозначение и получим в итоге:

- уравнение прямой.

Следует отметить, что коэффициент всегда меньше единицы (за счет того, что ). Таким образом, угол наклона прямолинейной траектории равномерного движения в сечении четырехмерного пространства всегда лежит в пределах (рис. 1.10).

(1.6.11)

Это какая-то мировая линия, причем . Т. е. всегда .

3. Частица покоится в начале координат, т.е. x=y=z=0

Мировая линия – это прямая, совпадающая с осью cT.

3. Рассмотрим произвольно движущуюся частицу.

r(t) – произвольная функция

Тангенс угла наклона в любой точке будет меньше единицы.