§ 5.5. Потенциалы и поля произвольно движущегося заряда
а) Вывод потенциалов на основе запаздывающих потенциалов.
|
Основная идея при получении полей состоит в том, что мы должны используя запаздывающие потенциалы, выразить их через кинематические характеристики (скорость, заряд, ускорение) в правой части.
dV
– элемент объема в размазанной
клеточке (
|
);
– вектор, направленный от заряда в
точку наблюдения. Идея вывода состоит
в том, чтобы, проинтегрировав выражение
(5.5.1), избавиться от 
и 
,
и оставить
и
для заряда. Если речь идет о точечном
заряде, то плотность
Но – траекторное время (время появления поля). -функция в (5.5.2) не установит соотношения между и . Введем временную -функцию, которая устанавливает связь между и . Тогда (5.5.1) можно переписать в виде:
Прежде всего, проинтегрируем (5.5.3) по
или по
(снимем пространственный интеграл),
тогда
Используем свойство - функции:
Здесь
– корень уравнения
.
Т.к.
-
функция – четная функция, можно записать:
Запишем
в явном виде:
Т.к.
не зависит от времени, то
Уравнение
имеет в данном случае только один корень
(это следует из принципа причинности).
При движении атома в сплошной среде
может возникнуть два и даже больше
корней (излучение Вавилова – Черенкова).
В итоге приходим к такому потенциалу:
где
.
Векторный потенциал согласно (5.4.27) в этом случае равен:
Окончательно, четырехмерный векторный потенциал имеет вид:
Потенциалы называются потенциалами Лиенара – Вихерта.
Теперь нам надо перейти от потенциалов к напряженностям полей, следовательно, возникает математическая проблема: мы должны дифференцировать потенциалы, но у нас разное время в левой и правой части. Таким образом надо научиться дифференцировать функции с запаздывающим потенциалом. Это отдельная задача, которая выходит за рамки нашего курса электродинамики.
А сейчас найдем потенциалы Лиенара – Вихерта с помощью преобразования Лоренца, чтобы убедиться в правильности наших убеждений.
б) Метод преобразований Лоренца для получения потенциалов.
Для покоящегося заряда: кулоновский потенциал и кулоновское поле. Идея: провести преобразования Лоренца из системы покоя заряда (штрихованная система), где потенциал известен, в лабораторную систему. Преобразования Лоренца в общем случае:
Здесь
,
где V- скорость
штрихованной системы относительно
нештрихованной, u=V-скорость
движения самой частицы. В данном случае
нужны обратные преобразования Лоренца:
тогда
Используя
то, что
,
получим:
В системе покоя имеем векторный потенциал, равный
Т.к. все четырехмерные векторы преобразуются одинаково, получаем
в) Метод преобразований Лоренца для напряженности полей.
В системе покоя у произвольно движущегося заряда есть только кулоновское поле
Учитывая преобразования Лоренца, для напряженностей полей с учетом (5.5.23) получим:
Для электрического поля имеем:
Подставим
в (5.5.25) через
:
В итоге получаем выражение для электрического поля:
Тогда напряженность магнитного поля:
г) напряженности полей равномерно и прямолинейно движущегося заряда.
-
n
В этом случае, напряженности полей ортогональны.
При
выражение (5.5.27) будет равно нулю, как
и должно быть. Полученные выражения
для физического анализа не удобны,
поэтому напишем их в один и тот же
момент времени (рис. 5.5.2).
Покажем, что эта формула действительно совпадает с (5.5.26).
Согласно нашему рисунку
где
– время, в течение которого движется
заряд пока свет достигнет точки
наблюдения.
Из формулы (5.5.30) следует, что
Подставляем (5.5.30) в (5.5.32) и получим:
С учетом (5.5.33) и (5.5.34) уравнение (5.5.28) перепишется в виде:
В итоге получаем выражение для электрического поля
которое совпадает с (5.5.26).
Напряженность магнитного поля:
При выражение (5.5.27) будет равно нулю, как и должно быть.
Эти векторы обладают интересным свойством:
Анализ формулы (5.5.37) показывает, что с увеличением скорости в продольном направлении поле сжимается, а в поперечном увеличивается. Наглядно это можно показать следующим образом:
|
|
|
|
|
|
