§ 5.4. Неоднородное уравнение Даламбера. Запаздывающие и опережающие потенциалы

В данном параграфе мы получим неоднородное волновое уравнение при наличии токов и зарядов, которые создают поля. Для этого рассмотрим уравнение потенциалов при наличии токов, его можно получить исходя из второй пары уравнений Максвелла:

Раскроем тензор электромагнитного поля:

Пользуясь неоднородностью потенциалов, наложим на них дополнительное условие –калибровка Лоренца:

Используя этот (5.4.2) для (5.4.1) получим:

Выражение (5.4.4) – неоднородное уравнение Даламбера.

Подставляя μ=0,1,2,3,, запишем:

Найдем решение этих уравнений.

Эти уравнения (5.4.5) с математической точки зрения одинаковы. Решим уравнение для скалярного потенциала. Для определенности будем рассматривать случай точечного заряда. Поступим следующим образом, разобьем заряд на маленькие заряды. Т.к. мы работаем в теории поля (рис. 5.4.1), нельзя использовать понятия траектории и точечного заряда. Плотность заряда задается следующим образом: Тогда наше уравнение (5.4.5) перепишется в виде:

Решение находим в два этапа.

1. Решим уравнение вне клеточки, где находится заряд. Будем считать, что точка S находиться на очень большом расстоянии. В этом случае правая часть уравнения равна нулю.

Т.к. размеры заряда ничтожно малы, следовательно, можно считать, что наш потенциал будет обладать сферической симметрией, запишем лапласиан в сферической системе координат.

А т.к. лапласиан не содержит и , то (5.4.9) примет вид:

где – время фиксации поля в точке наблюдения. Сделаем замену переменных:

Подставим (5.4.12) в (5.4.11), получим:

Т.к. , ее можно вынести, и от (5.4.15) останется только:

Это уравнение для плоских электромагнитных волн, распространяющихся вдоль (хотя, в целом, волна сферическая). Решение этого уравнения выглядит следующим образом:

где – волна, идущая к заряду из бесконечности, а – от заряда к бесконечности. Причем, эти два слагаемых имеет смысл: поля на бесконечности спадают. Из бесконечности к заряду ничего не приходит, следовательно,

Это решение (5.4.18) удовлетворяет условию причинности, т.е. поле придет в точку с течением времени, когда . Т.к. , это решение является запаздывающим во времени (начало вектора взято в момент времени , а конец – в ). Запаздывающий потенциал в этом случае равен:

2. Найдем решение нашего неоднородного уравнения вблизи от заряда, т.е. при . Отбросить правую часть уравнения (5.4.7) уже нельзя, но в этом случае существенно изменяется левая часть. Временная производная в волновом уравнении значительно уступает по величине координатной производной.

Т.к.

то в (5.4.7) остаются члены:

Решением этого уравнения является потенциал

Чтобы найти все поле, нужно применить принцип суперпозиции полей.

Результирующий потенциал запишется в виде:

где роль играет элемент объема клеточки с зарядом . Таким образом, (5.4.26) – полный запаздывающий скалярный потенциал. Обобщая на случай векторного потенциала, имеем:

Здесь является немой переменной, т.к. при интегрировании она уйдет, и останутся только те переменные, которые характеризуют поле движущегося заряда.

Четырехмерный векторный потенциал будет равен:

Это выражение характерно тем, что в левой части стоит время - которое соответствует наблюдению, а правой части стоит момент времени t – который соответствует моменту излучения, это траекторное время. Так как более поздний момент времени, то эти потенциалы получили название запаздывающие потенциалы.

Следует заметить, что с математической точки зрения возможно решение, связанное с волной, идущей от наблюдателя к источнику излучения. В этом случае, такое решение будет называться опережающим потенциалом.

С физической же точки зрения такое решение бессмысленно, т.к. поле создается зарядами, потому что нарушается принцип причинности. Таким образом, опережающие потенциалы мы рассматривать не будем. Однако в теоретической физике опережение поля используют для наведения некоторой симметрии в теории поля. Время запаздывания: