§ 5.3. Монохроматическая плоская волна

а) Потенциалы и напряженности полей.

В плоской волне все величины зависят только от одной координаты (например, х) и времени. Причем, если волна распространяется слева направо вдоль оси Х, то все полевые величины будут зависеть от переменной светового конуса : , где .

Если зависит от по закону синуса или косинуса, то такая плоская волна называется монохроматической:

где – размерный коэффициент, т.к. косинус должен зависеть от безразмерной величины, а имеет размерность длины. Подставляя значение в (5.3.1), получим

Обозначим – обратная длина. Коэффициент показывает, сколько раз длина волны укладывается на отрезке длиной . – волновое число, связанное с частотой:

откуда видно, что

Формула (5.3.2) перепишется в виде

Надо проверить, что потенциал удовлетворял волновому уравнению:

Все предыдущие определения верны только тогда, когда

То есть можно считать, что такие волны существуют.

Для плоской монохроматической волны уравнение выполняется. Однако, мы это доказали для одной инерциальной системы отсчета, но это уравнение должно выполняться и в других инерциальных системах отсчета. Согласно принципу Относительности в любой инерциальной системе отсчета все уравнения движения должны иметь одинаковый вид. Имеем:

где - скалярное произведение четырехмерных векторов, которое является инвариантом в любой системе отсчета, то есть: □=□′.

То есть

Чтобы выполнялась инвариантность, необходимо, чтобы это выражение являлось произведением двух четырехмерных векторов

Так как движение происходит только вдоль оси X, то можно записать:

Компоненты второго четырехмерного вектора определим как

Так как , то – светоподобный вектор (четырехмерный волновой вектор), то есть его длина в четырехмерном пространстве всегда равна нулю.

Таким образом, видно

что фаза плоской монохроматической волны сохраняется.

Получаем уравнение плоской монохроматической волны в виде:

Часто для плоских монохроматических волн используется комплексная форма записи:

где – комплексная амплитуда.

Найдем напряженность электрического поля плоской монохроматической волны в комплексном виде. Продифференцируем по времени:

Аналогично можно найти связь между напряженностью же магнитного поля и векторного потенциала. Она дается соотношением:

б) Эффект Доплера.

Этот эффект можно получить с помощью преобразования Лоренца для

четырехмерного вектора.

х – четырехмерный вектор.

Преобразования Лоренца для четырехмерного вектора выглядят следующим образом:

а обратные преобразования:

Т.к. источник покоится в штрихованной системе, то его собственная частота будет равна:

а в лабораторной системе:

и, стало быть, длина волны

Если =0, то . Рассмотрим частные случаи.

1. Когда =0, направление движения волны и движения источника совпадают, наблюдается продольный эффект Доплера:

вследствие чего этот эффект называли «синим» эффектом Доплера.

2. когда , то есть источник удаляется от прибора. В этом случае

В оптике этот эффект называют «красным» эффектом Доплера (из-за смещения к красной области спектра).

3. когда , наблюдается поперечный эффект Доплера.

Поэтому этот эффект называют красным эффектом Доплера или аномальным. В нерелятивистском случае этот эффект незначителен:

Наиболее ярко он проявляется при больших скоростях.

в) Линейная поляризация плоской монохроматической волны.

Поляризация плоской монохроматической волны определяется характером поведения вектора напряженности электрического поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Вектора и находятся в плоскости фронта волны. Напряженность электрического поля равна:

где - точка, к которой дошла плоская волна,

- амплитуда колебания, которая также является комплексным вектором. Комплексный вектор можно представить в виде суммы векторов:

.

Эти векторы ортогональны: . Тогда запишем:

_где и - действительные трехмерные векторы.

Оказывается, что поляризация плоской монохроматической волны существенным образом зависит от фазы комплексного вектора напряженности ( и ).

Рассмотрим самый простой частный случай, когда . Тогда комплексная амплитуда будет иметь вид:

где - результирующая напряженность.

где .

Для анализа поляризации зафиксируем координату x так, чтобы . Тогда в этой точке x останутся чисто гармонические колебания (во взаимно ортогональных направлениях: y и z), и вектор напряженности будет иметь вид:

Выделим действительную часть вектора напряженности электрического поля .

В нашем разложении оба вектора изменяются по одинаковому закону:

Сам результирующий вектор колеблется вдоль одного и того же направления – это и есть линейная поляризация плоской волны.

Необходимо заметить, что амплитуды остаются постоянными и их отношение:

Т.о. наши колебания вектора напряженности электрического поля происходят следующим образом: достигает максимального значения в том случае, если t=0. С включением времени, убывает, так как косинус убывает, но время идет, и следовательно, пойдет в отрицательную сторону.

Таким образом, у нас вектор напряженности электрического поля колеблется вдоль одной прямой. Т.о. мы имеем дело с линейной поляризацией.

г) Эллиптическая поляризация плоской монохроматической волны.

Рассмотрим случай, когда фазовые множители связаны соотношением:

где . Тогда амплитуда колебаний имеет вид:

Зная, что , получаем:

Выделим действительную часть комплексной амплитуды:

Можно найти траекторию кончика результирующего вектора .

Следовательно, конец вектора будет двигаться по траектории эллипса.

Получили эллиптические колебания, следовательно, имеем эллиптическую поляризацию.

Если – правая эллиптическая поляризация (см. рис.). В случае, когда – левая. Если , то эллиптическая поляризация переходит в круговую, если или равен нулю – вырождается в линейную.

Оказывается, что эллиптическую поляризацию всегда можно представить в виде суммы двух круговых поляризаций. Причем степень эллиптичности зависит от того, какой будет разница между амплитудами. Это продемонстрировано на рисунке ниже.